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math:2:produit_scalaire

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math:2:produit_scalaire [2020/05/10 21:19]
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math:2:produit_scalaire [2020/05/25 09:39] (Version actuelle)
Alain Guichet
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 On dit qu'une application $\varphi\colon E\times E\to\R$ est un **produit scalaire** sur $E$ si et seulement si $\varphi$ est une **forme** : On dit qu'une application $\varphi\colon E\times E\to\R$ est un **produit scalaire** sur $E$ si et seulement si $\varphi$ est une **forme** :
-  * **bilinéaire** :\\ $$\ds\forall(\vv*{x}{1},\vv*{x}{2},​\vv{y})\in E^{3},​\forall(\lambda_{1},​\lambda_{2})\in\R^{2},​\;​\varphi(\lambda_{1}\vv*{x}{1}+\lambda_{2}\vv*{x}{2},​\vv{y})=\lambda_{1}\varphi(\vv*{x}{1},​\vv{y})+\lambda_{2}\varphi(\vv*{x}{2},​\vv{y})$$$$\ds\forall(\vv{x},​\vv*{y}{1},\vv*{y}{2})\in E^{3},​\forall(\lambda_{1},​\lambda_{2})\in\R^{2},​\;​\varphi(\vv{x},​\lambda_{1}\vv*{y}{1}+\lambda_{2}\vv*{y}{2})=\lambda_{1}\varphi(\vv{x},​\vv*{y}{1})+\lambda_{2}\varphi(\vv{x},​\vv*{y}{2})$$+  * **bilinéaire** :\\ $$\ds\forall(\vv{x_1},\vv{x_2},​\vv{y})\in E^{3},​\forall(\lambda_{1},​\lambda_{2})\in\R^{2},​\;​\varphi(\lambda_{1}\vv{x_1}+\lambda_{2}\vv{x_2},​\vv{y})=\lambda_{1}\varphi(\vv{x_1},​\vv{y})+\lambda_{2}\varphi(\vv{x_2},\vv{y})$$ $$\ds\forall(\vv{x},​\vv{y_1},\vv{y_2})\in E^{3},​\forall(\lambda_{1},​\lambda_{2})\in\R^{2},​\;​\varphi(\vv{x},​\lambda_{1}\vv{y_1}+\lambda_{2}\vv{y_2})=\lambda_{1}\varphi(\vv{x},​\vv{y_1})+\lambda_{2}\varphi(\vv{x},​\vv{y_1})$$
   * **symétrique** :\\ $$\ds\forall(\vv{x},​\vv{y})\in E^{2},​\;​\varphi(\vv{y},​\vv{x})=\varphi(\vv{x},​\vv{y})$$   * **symétrique** :\\ $$\ds\forall(\vv{x},​\vv{y})\in E^{2},​\;​\varphi(\vv{y},​\vv{x})=\varphi(\vv{x},​\vv{y})$$
   * **positive** :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in E,​\;​\varphi(\vv{x},​\vv{x})\geqslant0$$   * **positive** :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in E,​\;​\varphi(\vv{x},​\vv{x})\geqslant0$$
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   - Montrer que les applications suivantes sont des produits scalaires sur $E$ :   - Montrer que les applications suivantes sont des produits scalaires sur $E$ :
-    - $E=\R^{n}$ et, pour tous vecteurs $x=\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}$ et $y=\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n} \end{pmatrix}$ de $E$ :\\ $$\ds\left\langle \vv{x}\mid\vv{y}\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n}$$Ce produit scalaire est appelé **produit scalaire canonique** ou **produit scalaire euclidien** de $\R^{n}$.+    - $E=\R^{n}$ et, pour tous vecteurs $x=\begin{pmatrix}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n} \end{pmatrix}$ et $y=\begin{pmatrix}y_{1}\\ \vdots\\ y_{n} \end{pmatrix}$ de $E$ :\\ $$\ds\left\langle \vv{x}\mid\vv{y}\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}=x_{1}y_{1}+\dots+x_{n}y_{n}$$ Ce produit scalaire est appelé **produit scalaire canonique** ou **produit scalaire euclidien** de $\R^{n}$.
     - $E=\mathcal{C}^0([a,​b])$ avec $a<b$ et, pour tout couple $(f,g)\in E^{2}$ : $$\ds \varphi(f,​g)=\int_{a}^{b}{f(t)g(t)\mathrm{d}t}$$     - $E=\mathcal{C}^0([a,​b])$ avec $a<b$ et, pour tout couple $(f,g)\in E^{2}$ : $$\ds \varphi(f,​g)=\int_{a}^{b}{f(t)g(t)\mathrm{d}t}$$
     - $E=\R[X]$ et, pour tout couple $(P,Q)\in E^{2}$ :\\ $$\ds \left\langle P,​Q\right\rangle =\int_{0}^{+\infty}{P(t)Q(t)\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t}$$     - $E=\R[X]$ et, pour tout couple $(P,Q)\in E^{2}$ :\\ $$\ds \left\langle P,​Q\right\rangle =\int_{0}^{+\infty}{P(t)Q(t)\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t}$$
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 <box 100% red round | **[[:​math:​2:​demo:​produit_scalaire_et_vecteur_nul|Théorème]]**>​ <box 100% red round | **[[:​math:​2:​demo:​produit_scalaire_et_vecteur_nul|Théorème]]**>​
  
-Soit $\varphi$ un produit scalaire sur $E$. Alors :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in E,​\;​\varphi(\vv{x},​\vv*{0}{E})=\varphi(\vv*{0}{E},​\vv{x})=0$$+Soit $\varphi$ un produit scalaire sur $E$. Alors :\\ $$\ds\forall\vv{x}\in E,​\;​\varphi(\vv{x},​\vv{0_E})=\varphi(\vv{0_E},​\vv{x})=0$$
  
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math/2/produit_scalaire.txt · Dernière modification: 2020/05/25 09:39 par Alain Guichet