math:2:point_critique
Différences
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- | ^ **[[: | + | ^ **[[: |
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- | \begin{defi} | + | <box green round 100% | **Définition**> |
- | Soit f | + | Soit $f$ est définie sur $\R^{n}$. Soit $A$ un point de $\R^{n}$. |
- | | + | * On dit que $f$ admet un **maximum** (resp. **minimum**) **global** en $A$ sur $\R^{n}$ si et seulement si :\\ $$\ds\forall M\in\R^{n}, |
- | . Soit A | + | * On dit que $f$ admet un **maximum** (resp. **minimum**) **local** en $A$ si et seulement si :\\ $$\ds\exists r> |
- | | + | |
- | . | + | |
- | • On dit que f | + | </box> |
- | admet un maximum (resp. minimum) globalMaximum/minimum absolu en A | + | |
- | sur \R^{n} | + | |
- | si et seulement si:\forall M\in\R^{n}, | + | |
- | + | ||
- | • On dit que f | ||
- | admet un maximum (resp. minimum) localMaximum/ | ||
- | si et seulement si:\exists r> | ||
- | |||
- | \end{defi} | + | __**Exemples**__ |
- | \begin{exs} | + | - Justifier que la fonction norme admet un minimum global sur $\R^{n}$. |
+ | - Justifier que la fonction $f$ définie sur $\R^{2}$ par $f(x, | ||
- | 1. Justifier que la fonction norme admet un minimum global sur \R^{n} | ||
- | . | ||
- | 2. Justifier que la fonction f | + | <box green round 100% | **Définition**> |
- | définie sur \R^{2} | + | |
- | par f(x, | + | |
- | pour (x, | + | |
- | et f(0,0)=0 | + | |
- | admet un maximum local en (0,0) | + | |
- | et que ce maximum n'est pas global sur \R^{2} | + | |
- | . La fonction f | + | |
- | admet-elle un minimum global sur \R^{2} | + | |
- | ? En quel(s) point(s) est-il atteint le cas échéant? | + | |
- | \end{exs} | + | On suppose que $f$ admet des fonctions dérivée partielles sur $\R^{n}$. On dit qu'un point $A$ de $\R^{n}$ est un **point critique** de la fonction $f$ si et seulement si $\nabla f(A)=\vv{0}$, |
- | \begin{defi} | + | </ |
- | On suppose que f | ||
- | admet des fonctions dérivée partielles sur \R^{n} | ||
- | . On dit qu'un point A | ||
- | \R^{n} | ||
- | est un point critiquePoint critique de la fonction f | ||
- | si et seulement si \nabla f(A)=\vv{0} | ||
- | , autrement dit si et seulement si:\forall i\in\llbracket1, | ||
- | |||
- | \end{defi} | + | __**Remarque**__ |
- | \begin{rem} | + | En un point critique, toutes les dérivées directionnelles sont nulles (pourvu qu' |
- | En un point critique, toutes les dérivées directionnelles sont nulles (pourvu qu' | ||
- | est de classe \mathcal{C}^{1} | ||
- | ). | ||
- | \end{rem} | + | <box red round 100% | **Théorème : Condition nécessaire d' |
- | \begin{theo}[Condition nécessaire d' | + | On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Si $f$ admet un extremum local en $A$ alors $A$ est un point critique de $f$. |
- | On suppose que f | + | </ |
- | est de classe \mathcal{C}^{1} | + | |
- | sur \R^{n} | + | |
- | . Si f | + | |
- | admet un extremum local en A | + | |
- | alors A | + | |
- | est un point critique de f | + | |
- | . | + | |
- | \end{theo} | ||
+ | __**Exemples**__ | ||
+ | Pour chaque fonction, déterminer ses points critiques et préciser si $f$ y admet ou non un extremum local voire global. | ||
+ | - $f(x, | ||
+ | - $f(x, | ||
+ | - $f(x, | ||
+ | - $f(x, | ||
- | \begin{exs} | ||
- | Pour chaque fonction, déterminer ses points critiques et préciser si f | + | __**Remarque**__ |
- | y admet ou non un extremum local voire global. | + | |
- | 1. f(x, | + | La condition énoncée est nécessaire mais n'est pas suffisante puisqu' |
- | pour (x, | + | |
- | et f(0,0)=0 | + | |
- | . | + | |
- | 2. f(x, | ||
- | |||
- | 3. f(x, | + | ^ **[[: |
- | + | ||
- | + | ||
- | 4. f(x, | + | |
- | + | ||
- | + | ||
- | \end{exs} | + | |
- | + | ||
- | \begin{rem} | + | |
- | + | ||
- | La condition énoncée est nécessaire mais n'est pas suffisante puisqu' | + | |
- | + | ||
- | \end{rem} | + | |
- | + | ||
- | ^ **[[: | + | |
math/2/point_critique.txt · Dernière modification : 2020/05/10 21:19 de 127.0.0.1