Différences

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+^ **[[:math:2:index#fonctions_sur_r_n | Fct sur R^n > ]]** | [[:math:2:fonctions_sur_rn|Généralités]] | [[:math:2:continuite_sur_rn|Continuité]] | [[:math:2:derivees_partielles|Dériv part]] | [[:math:2:fonctions_classe_c1_rn| Classe C^1]] | [[:math:2:derivees_directionnelles|Dériv direc]] | [[:math:2:point_critique|Extremum]] |
+====== Condition nécessaire d'ordre 1 d'existence d'un extremum ======
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+<box green round 100% | **Définition**>
+Soit $f$ est définie sur $\R^{n}$. Soit $A$ un point de $\R^{n}$.
+  * On dit que $f$ admet un **maximum** (resp. **minimum**) **global** en $A$ sur $\R^{n}$ si et seulement si :\\ $$\ds\forall M\in\R^{n},\; f(M)\leqslant f(A)\qquad\text{resp.}\; f(M)\geqslant f(A)$$
+  * On dit que $f$ admet un **maximum** (resp. **minimum**) **local** en $A$ si et seulement si :\\ $$\ds\exists r>0\;/\:\forall M\in\R^{n},\;\|\vv{AM}\|\leqslant r\;\implies\; f(M)\leqslant f(A)\qquad\text{resp.}\; f(M)\geqslant f(A)$$
+</box>
+__**Exemples**__
+  - Justifier que la fonction norme admet un minimum global sur $\R^{n}$.
+  - Justifier que la fonction $f$ définie sur $\R^{2}$ par $f(x,y)=(x^{2}+y^{2})\ln(x^{2}+y^{2})$ pour $(x,y)\ne(0,0)$ et $f(0,0)=0$ admet un maximum local en $(0,0)$ et que ce maximum n'est pas global sur $\R^{2}$. La fonction $f$ admet-elle un minimum global sur $\R^{2}$ ? En quel(s) point(s) est-il atteint le cas échéant ?
+<box green round 100% | **Définition**>
+On suppose que $f$ admet des fonctions dérivée partielles sur $\R^{n}$. On dit qu'un point $A$ de $\R^{n}$ est un **point critique** de la fonction $f$ si et seulement si $\nabla f(A)=\vv{0}$, autrement dit si et seulement si :\\ $$\ds\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\partial_{i}(f)(A)=0$$
+</box>
+__**Remarque**__
+En un point critique, toutes les dérivées directionnelles sont nulles (pourvu qu'elles existent, ce qui est le cas lorsque $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$).
+<box red round 100% | **Théorème : Condition nécessaire d'existence**>
+On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Si $f$ admet un extremum local en $A$ alors $A$  est un point critique de $f$.
+</box>
+__**Exemples**__
+Pour chaque fonction, déterminer ses points critiques et préciser si $f$ y admet ou non un extremum local voire global.
+  - $f(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}$ pour $(x,y)\ne(0,0)$ et $f(0,0)=0$.
+  - $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$
+  - $f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}+x$
+  - $f(x,y)=x^{2}+xy-y^{2}+x$
+__**Remarque**__
+La condition énoncée est nécessaire mais n'est pas suffisante puisqu'il existe des points critiques en lesquels la fonction n'admet pas d'extremum. Un tel point est appelé **point col** ou **point selle**.
+^ **[[:math:2:index#fonctions_sur_r_n | Fct sur R^n > ]]** | [[:math:2:fonctions_sur_rn|Généralités]] | [[:math:2:continuite_sur_rn|Continuité]] | [[:math:2:derivees_partielles|Dériv part]] | [[:math:2:fonctions_classe_c1_rn| Classe C^1]] | [[:math:2:derivees_directionnelles|Dériv direc]] | [[:math:2:point_critique|Extremum]] |