math:2:point_critique
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math:2:point_critique [2014/11/21 00:23] – créée Alain Guichet | math:2:point_critique [2015/11/26 10:00] – Alain Guichet | ||
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Ligne 1: | Ligne 1: | ||
- | ^ **[[: | + | ^ **[[: |
+ | ====== Condition nécessaire d' | ||
- | ^ **[[: | + | <box green round 100% | **Définition**> |
+ | |||
+ | Soit $f$ est définie sur $\R^{n}$. Soit $A$ un point de $\R^{n}$. | ||
+ | * On dit que $f$ admet un **maximum** (resp. **minimum**) **global** en $A$ sur $\R^{n}$ si et seulement si :\\ $$\ds\forall M\in\R^{n}, | ||
+ | * On dit que $f$ admet un **maximum** (resp. **minimum**) **local** en $A$ si et seulement si :\\ $$\ds\exists r> | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | __**Exemples**__ | ||
+ | |||
+ | - Justifier que la fonction norme admet un minimum global sur $\R^{n}$. | ||
+ | - Justifier que la fonction $f$ définie sur $\R^{2}$ par $f(x, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <box green round 100% | **Définition**> | ||
+ | |||
+ | On suppose que $f$ admet des fonctions dérivée partielles sur $\R^{n}$. On dit qu'un point $A$ de $\R^{n}$ est un **point critique** de la fonction $f$ si et seulement si $\nabla f(A)=\vv{0}$, | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | __**Remarque**__ | ||
+ | |||
+ | En un point critique, toutes les dérivées directionnelles sont nulles (pourvu qu' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <box red round 100% | **Théorème : Condition nécessaire d' | ||
+ | |||
+ | On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Si $f$ admet un extremum local en $A$ alors $A$ est un point critique de $f$. | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | __**Exemples**__ | ||
+ | |||
+ | Pour chaque fonction, déterminer ses points critiques et préciser si $f$ y admet ou non un extremum local voire global. | ||
+ | - $f(x, | ||
+ | - $f(x, | ||
+ | - $f(x, | ||
+ | - $f(x, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | __**Remarque**__ | ||
+ | |||
+ | La condition énoncée est nécessaire mais n'est pas suffisante puisqu' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ^ **[[: | ||
math/2/point_critique.txt · Dernière modification : 2020/05/10 21:19 de 127.0.0.1