Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:point_critique [2014/11/21 00:23] – créée Alain Guichet
+++ math:2:point_critique [2014/11/21 00:24] – Alain Guichet
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+====== Condition nécessaire d'ordre 1 d'existence d'un extremum ======
+\begin{defi}
+Soit f
+  est définie sur \R^{n}
+ . Soit A
+  un point de \R^{n}
+ .
+• On dit que f
+  admet un maximum (resp. minimum) globalMaximum/minimum absolu en A
+  sur \R^{n}
+  si et seulement si:\forall M\in\R^{n},\; f(M)\leqslant f(A)\qquad\text{resp.}\; f(M)\geqslant f(A)
+• On dit que f
+  admet un maximum (resp. minimum) localMaximum/minimum absolu en A
+  si et seulement si:\exists r>0\;/\:\forall M\in\R^{n},\;\|\vv{AM}\|\leqslant r\;\implies\; f(M)\leqslant f(A)\qquad\text{resp.}\; f(M)\geqslant f(A)
+\end{defi}
+\begin{exs}
+. Justifier que la fonction norme admet un minimum global sur \R^{n}
+ .
+. Justifier que la fonction f
+  définie sur \R^{2}
+  par f(x,y)=(x^{2}+y^{2})\ln(x^{2}+y^{2})
+  pour (x,y)\ne(0,0)
+  et f(0,0)=0
+  admet un maximum local en (0,0)
+  et que ce maximum n'est pas global sur \R^{2}
+ . La fonction f
+  admet-elle un minimum global sur \R^{2}
+ ? En quel(s) point(s) est-il atteint le cas échéant?
+\end{exs}
+\begin{defi}
+On suppose que f
+  admet des fonctions dérivée partielles sur \R^{n}
+ . On dit qu'un point A
+  \R^{n}
+  est un point critiquePoint critique de la fonction f
+  si et seulement si \nabla f(A)=\vv{0}
+ , autrement dit si et seulement si:\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\partial_{i}(f)(A)=0
+\end{defi}
+\begin{rem}
+En un point critique, toutes les dérivées directionnelles sont nulles (pourvu qu'elles existent, ce qui est le cas lorsque f
+  est de classe \mathcal{C}^{1}
+ ).
+\end{rem}
+\begin{theo}[Condition nécessaire d'existence]
+On suppose que f
+  est de classe \mathcal{C}^{1}
+  sur \R^{n}
+ . Si f
+  admet un extremum local en A
+  alors A
+  est un point critique de f
+ .
+\end{theo}
+\begin{exs}
+Pour chaque fonction, déterminer ses points critiques et préciser si f
+  y admet ou non un extremum local voire global.
+. f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}
+  pour (x,y)\ne(0,0)
+  et f(0,0)=0
+ .
+. f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
+. f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}+x
+. f(x,y)=x^{2}+xy-y^{2}+x
+\end{exs}
+\begin{rem}
+La condition énoncée est nécessaire mais n'est pas suffisante puisqu'il existe des points critiques en lesquels la fonction n'admet pas d'extremum. Un tel point est appelé point col ou point selle.
+\end{rem}
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