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math:2:nzq

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math:2:nzq [2020/05/10 23:27]
Alain Guichet [Nombres entiers et récurrence, nombres rationnels]
math:2:nzq [2020/05/12 08:29] (Version actuelle)
Alain Guichet
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 __**Remarques**__\\ __**Remarques**__\\
-  * <​html><​a name="​quatre_sommes"></​a></​html>​On peut montrer par [[.:​demo:​4_sommes|récurrence]] que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :\\ $$\ds\sum_{k=1}^{n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}$$$$\ds\sum_{k=1}^{n}{k^{2}}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$$$\ds\sum_{k=1}^{n}{k^{3}}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$$$$\ds\sum_{k=0}^{n}{q^{k}}=\begin{cases} +  * <​html><​a name="​quatre_sommes"></​a></​html>​On peut montrer par **[[.:​demo:​4_sommes|récurrence]]** que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :\\ $$\ds\sum_{k=1}^{n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}$$ $$\ds\sum_{k=1}^{n}{k^{2}}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$\ds\sum_{k=1}^{n}{k^{3}}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}$$ $$\ds\sum_{k=0}^{n}{q^{k}}=\begin{cases} n+1 & \text{si}\; q=1\\ \ds\frac{1-q^{n+1}}{1-q} & \text{si}\; q\ne1 \end{cases}$$ Cette dernière somme s'​applique encore dans le cas où $q\in\C$.\\ //​Remarque//​ : Même si le programme officiel ne l'​exige pas, il convient de connaître les résultats des sommes 2 et 3 de cette liste ainsi qu'une technique pour les retrouver (la récurrence n'​étant pas la seule). 
-n+1 & \si\; q=1\\ +  * <​html><​a name="​telescopage"></​a></​html>​Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite réelle. Pour tout couple $(m,n)$ d'​entiers tels que $n\geqslant m\geqslant p$, on a :\\ $${\ds\sum_{k=m}^{n}{\left[u_{k+1}-u_{k}\right]}=u_{n+1}-u_{m}}$$ //​Remarque//​ : Il convient de connaitre ce résultat dit de **[[:​math:​2:​demo:​telescopage|télescopage]]**.
-\ds\frac{1-q^{n+1}}{1-q} & \si\; q\ne1 +
-\end{cases}$$Cette dernière somme s'​applique encore dans le cas où $q\in\C$.\\ //​Remarque//​ : Même si le programme officiel ne l'​exige pas, il convient de connaître les résultats des sommes 2 et 3 de cette liste ainsi qu'une technique pour les retrouver (la récurrence n'​étant pas la seule). +
-  * <​html><​a name="​telescopage"></​a></​html>​Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite réelle. Pour tout couple $(m,n)$ d'​entiers tels que $n\geqslant m\geqslant p$, on a :\\ $${\ds\sum_{k=m}^{n}{\left[u_{k+1}-u_{k}\right]}=u_{n+1}-u_{m}}$$//​Remarque//​ : Il convient de connaitre ce résultat dit de **[[:​math:​2:​demo:​telescopage|télescopage]]**.+
  
  
math/2/nzq.txt · Dernière modification: 2020/05/12 08:29 par Alain Guichet