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math:2:mat_passage

Matrice de passage entre deux bases

Dans ce paragraphe, $E$ est un espace vectoriel de dimension $n$ (avec $n\geqslant1$).

Définition

On appelle matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$ la matrice $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ de $\mathcal{M}_n(\K)$ dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}'$ exprimées dans la base $\mathcal{B}$.

Exemple
On considère la base canonique $\mathcal{B}=(1,X,X^{2})$ de $\R_{2}[X]$. Soit $(a,b)$ un couple de réels distincts. On considère les familles de polynômes $\mathcal{B}'=\left(1,X-a,(X-a)^{2}\right)$ et $\mathcal{B}''=\left((X-a)^{2},(X-a)(X-b),(X-b)^{2}\right)$.

  1. Montrer que ces deux familles $\mathcal{B}'$ et $\mathcal{B}''$ sont deux autres bases de $\R_{2}[X]$.
  2. Déterminer $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$, $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}''}$ et $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}''}$. Vérifier que $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}''}=P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\times P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}''}$.

Théorème : Propriétés des matrices de passage

Soit $\mathcal{B},\mathcal{B}',\mathcal{B}''$ trois bases de $E$.

  • Soit $\vv{x}\in E$ de matrice colonne des coordonnées $X$ (resp. $X'$) dans la base $\mathcal{B}$ (resp. $\mathcal{B}'$). Alors :
    $$X=P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}X'$$
  • On a : $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}}=I_{n}$ (matrice unité) et :
    $$\ds P_{\mathcal{B},\mathcal{B}''}=P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\times P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}''}$$En conséquence, la matrice $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ est inversible et on a :
    $$\ds\left[P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\right]^{-1}=P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$$

Remarque
Toute matrice inversible est une matrice de passage entre deux bases.

Exemples

  1. Dans $\R^{2}$, on considère la base canonique $\mathcal{B}$ ainsi que la famille $\ds\mathcal{B}'=\left(\begin{pmatrix}1\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ -1 \end{pmatrix}\right)$. Vérifier que $\mathcal{B}'$ est une base de $\R^{2}$ et déterminer la matrice de passage de $\mathcal{B}'$ à $\mathcal{B}$.
  2. Dans $\R^{3}$, on considère la base canonique $\mathcal{B}$ ainsi que la famille $\mathcal{B}'=\left(\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\right)$. Vérifier que $\mathcal{B}'$ est une base de $\R^{3}$ et déterminer la matrice de passage de $\mathcal{B}'$ à $\mathcal{B}$.
math/2/mat_passage.txt · Dernière modification: 2020/05/11 00:28 par Alain Guichet