math:2:kx
Différences
Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.
Les deux révisions précédentesRévision précédenteProchaine révision | Révision précédenteDernière révisionLes deux révisions suivantes | ||
math:2:kx [2020/05/10 22:52] – Alain Guichet | math:2:kx [2020/05/12 08:17] – Alain Guichet | ||
---|---|---|---|
Ligne 51: | Ligne 51: | ||
* **Opérations d' | * **Opérations d' | ||
- | * **Opération supplémentaire d' | + | * **Opération supplémentaire d' |
- | * On appelle **polynôme dérivé** de $P=a_{n}X^{n}+\dots+a_{1}X+a_{0}$ le polynôme noté $P'$ défini par :\\ $$P' | + | * On appelle **polynôme dérivé** de $P=a_{n}X^{n}+\dots+a_{1}X+a_{0}$ le polynôme noté $P'$ défini par :\\ $$P' |
- | \Theta & \si & n=0\\ | + | par :\\ $$P^{(0)}=P\qquad\text{et}\qquad\forall k\in\N,\; P^{(k+1)}=\left(P^{(k)}\right)' |
- | {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{ka_{k}X^{k-1}}=\sum_{k=0}^{n-1}{(k+1)a_{k+1}X^{k}}} & \si & n\geqslant1 | + | |
- | \end{array}\right.$$On définit par récurrence les polynômes dérivés successifs de $P$ | + | |
- | par :\\ $$P^{(0)}=P\qquad\et\qquad\forall k\in\N,\; P^{(k+1)}=\left(P^{(k)}\right)' | + | |
</ | </ | ||
Ligne 81: | Ligne 78: | ||
* **Commutativité** : $Q\times P=P\times Q$. | * **Commutativité** : $Q\times P=P\times Q$. | ||
* **Distributivité sur la somme** : $P\times[\lambda Q+\mu R]=\lambda P\times Q+\mu P\times R$ et dans l' | * **Distributivité sur la somme** : $P\times[\lambda Q+\mu R]=\lambda P\times Q+\mu P\times R$ et dans l' | ||
- | * En conséquence des deux points précédents, | + | * En conséquence des deux points précédents, |
* Toute évaluation du produit $P\times Q$ est égale au « produit » des évaluations de $P$ et de $Q$ (ce « produit » étant la composition dans le cas des endomorphismes). | * Toute évaluation du produit $P\times Q$ est égale au « produit » des évaluations de $P$ et de $Q$ (ce « produit » étant la composition dans le cas des endomorphismes). | ||
* Le terme dominant d'un produit de polynômes est le produit des termes dominants de tous ces polynômes.\\ En particulier, | * Le terme dominant d'un produit de polynômes est le produit des termes dominants de tous ces polynômes.\\ En particulier, | ||
Ligne 92: | Ligne 89: | ||
<box 100% red round | **Théorème : [[: | <box 100% red round | **Théorème : [[: | ||
- | * Soit $P\in\K[X]$. Si $P$ est non constant alors $\deg(P' | + | * Soit $P\in\K[X]$. Si $P$ est non constant alors $\deg(P' |
- | \deg(P)\geqslant k & \implies & \deg(P^{(k)})=\deg(P)-k\\ | + | |
- | \deg(P)< | + | |
- | \end{array}\right.$$ | + | |
* L' | * L' | ||
* Dérivation du produit : $(P\times Q)' | * Dérivation du produit : $(P\times Q)' | ||
* **Formule de Leibniz** (généralisation de la formule précédente) :\\ $$\ds\forall n\in\N, | * **Formule de Leibniz** (généralisation de la formule précédente) :\\ $$\ds\forall n\in\N, | ||
- | * **Formule de Taylor** : Soit $P$ un polynôme de degré $n\in\N$ et $\alpha$ un scalaire. Alors :\\ $$\ds P=\sum_{k=0}^{n}{\frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}(X-\alpha)^{k}}=P(\alpha)+P' | + | * **Formule de Taylor** : Soit $P$ un polynôme de degré $n\in\N$ et $\alpha$ un scalaire. Alors :\\ $$\ds P=\sum_{k=0}^{n}{\frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}(X-\alpha)^{k}}=P(\alpha)+P' |
</ | </ | ||
Ligne 111: | Ligne 105: | ||
<box 100% red round | **Théorème : [[: | <box 100% red round | **Théorème : [[: | ||
- | Soit $(A, | + | Soit $(A, |
</ | </ | ||
Ligne 117: | Ligne 111: | ||
__**Remarque (à retenir)**__\\ | __**Remarque (à retenir)**__\\ | ||
- | On a : $\forall a\in\C, | + | On a : $\forall a\in\C, |
- | \frac{n!}{(n-k)!}(X-a)^{n-k} & \text{si}\; k\in\llbracket0, | + | |
- | \Theta & \text{sinom} | + | |
- | \end{cases}$. | + | |
Ligne 134: | Ligne 125: | ||
<box 100% red round | **Théorème : [[: | <box 100% red round | **Théorème : [[: | ||
- | Soit $P\in\K[X]$ et $\alpha\in\K$. On a :\\ $$(X-\alpha)\mid P\quad\iff\quad P(\alpha)=0$$Dans ce cas, on dit que $\alpha$ est une **racine** de $P$. | + | Soit $P\in\K[X]$ et $\alpha\in\K$. On a :\\ $$(X-\alpha)\mid P\quad\iff\quad P(\alpha)=0$$ Dans ce cas, on dit que $\alpha$ est une **racine** de $P$. |
</ | </ | ||
Ligne 176: | Ligne 167: | ||
* Un polynôme non nul est dit **irréductible** dans $\K[X]$ si et seulement s'il est constant ou bien ses seuls diviseurs non constants (c'est à dire de degré supérieur à 1) sont ses multiples (le polynôme lui-même multiplié par un scalaire non nul). En particulier, | * Un polynôme non nul est dit **irréductible** dans $\K[X]$ si et seulement s'il est constant ou bien ses seuls diviseurs non constants (c'est à dire de degré supérieur à 1) sont ses multiples (le polynôme lui-même multiplié par un scalaire non nul). En particulier, | ||
- | * Les polynômes irréductibles de $\C[X]$ sont les polynômes de degré 0 et 1 et tout polynôme $P$ de $\C[X]$ de degré $n\in\N^{*}$ admettant exactement $n$ racines (en tenant compte de la multiplicité de chaque racine) se factorise sous la forme :\\ $$\ds P=\lambda\prod_{k=1}^{n}{(X-x_{k})}=\lambda\prod_{k=1}^{p}{(X-\alpha_{k})^{n_{k}}}$$où l'on a : | + | * Les polynômes irréductibles de $\C[X]$ sont les polynômes de degré 0 et 1 et tout polynôme $P$ de $\C[X]$ de degré $n\in\N^{*}$ admettant exactement $n$ racines (en tenant compte de la multiplicité de chaque racine) se factorise sous la forme :\\ $$\ds P=\lambda\prod_{k=1}^{n}{(X-x_{k})}=\lambda\prod_{k=1}^{p}{(X-\alpha_{k})^{n_{k}}}$$ où l'on a : |
* $\lambda$ est le coefficient dominant de $P$, | * $\lambda$ est le coefficient dominant de $P$, | ||
* $x_{1}, | * $x_{1}, | ||
* $\alpha_{1}, | * $\alpha_{1}, | ||
- | * Les polynômes irréductibles dans $\R[X]$ sont ceux de degré 0 ou 1 ainsi que ceux de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif et tout polynôme $P$ de $\R[X]$ se factorise sous la forme :\\ $$\ds P=\lambda\left(\prod_{k=1}^{p}(X-\alpha_{k})^{n_{k}}\right)\left(\prod_{k=1}^{q}(X^{2}+a_{k}X+b_{k})^{m_{k}}\right)$$où l'on a :\\ | + | * Les polynômes irréductibles dans $\R[X]$ sont ceux de degré 0 ou 1 ainsi que ceux de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif et tout polynôme $P$ de $\R[X]$ se factorise sous la forme :\\ $$\ds P=\lambda\left(\prod_{k=1}^{p}(X-\alpha_{k})^{n_{k}}\right)\left(\prod_{k=1}^{q}(X^{2}+a_{k}X+b_{k})^{m_{k}}\right)$$ où l'on a :\\ |
* $\lambda$ est le coefficient dominant de $P$, | * $\lambda$ est le coefficient dominant de $P$, | ||
* $\alpha_{1}, | * $\alpha_{1}, |
math/2/kx.txt · Dernière modification : 2020/05/12 08:20 de Alain Guichet