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| math:2:familles_orthogonales [2020/05/25 09:55] – Alain Guichet | math:2:familles_orthogonales [2020/05/25 10:03] – Alain Guichet |
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| Soit $\left\langle .,.\right\rangle $ un produit scalaire sur $E$ et $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ une famille de vecteurs. | Soit $\left\langle .,.\right\rangle $ un produit scalaire sur $E$ et $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ une famille de vecteurs. |
| * Si la famille $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ est orthogonale pour $\left\langle .,.\right\rangle$ et ne contient pas le vecteur nul alors elle est libre. | * Si la famille $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ est orthogonale pour $\left\langle .,.\right\rangle$ et ne contient pas le vecteur nul alors elle est libre. |
| * Si la famille $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ est orthonormale pour $\left\langle .,.\right\rangle$ alors elle est libre. De plus, pour tout vecteur $\vv{x}\in\mathrm{Vect}(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$, on a :\\ $$\ds\vv{x}=\left\langle \vv{x},\vv{x_1}\right\rangle \vv{x_1}+\dots+\left\langle \vv{x},\vv{x_p}\right\rangle \vv{x_p}=\sum_{i=1}^{p}{\left\langle \vv{x},\vv{x_i}\right\rangle \vv{x_i}$$ | * Si la famille $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ est orthonormale pour $\left\langle .,.\right\rangle$ alors elle est libre. De plus, pour tout vecteur $\vv{x}\in\mathrm{Vect}(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$, on a : $$\ds\vv{x}=\left\langle \vv{x},\vv{x_1}\right\rangle \vv{x_1}+\dots+\left\langle \vv{x},\vv{x_p}\right\rangle \vv{x_p}=\sum_{i=1}^{p}{\left\langle \vv{x},\vv{x_i}\right\rangle \vv{x_i}}$$ |
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| __**Exemple**__ | __**Exemple**__ |
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| Soit $E$ un espace euclidien. Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires dans $E$ tels que $F\perp G$. Soit $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_k})$ une base orthonomale de $F$ et $(\vv{x_{k+1}},\dots,\vv{x_n})$ une base orthonormale de $G$. On note $\vv{x}=\vv{x_F}+\vv{x_G}$ la décomposition dans la somme directe. Montrer que, pour tout vecteur $\vv{x}\in E$, on a : $$\ds\vv{x_F}=\sum_{i=1}^{k}{\left\langle \vv{x},\vv{x_i}\right\rangle \vv{x_i}}$$ $$\ds\vv{x_G}=\sum_{i=k+1}^{n}{\left\langle \vv{x},\vv{x_i}\right\rangle \vv{x_i}}$$ | Soit $E$ un espace euclidien. Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires dans $E$ tels que $F\perp G$. Soit $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_k})$ une base orthonomale de $F$ et $(\vv{x_{k+1}},\dots,\vv{x_n})$ une base orthonormale de $G$. On note $\vv{x}=\vv{x_F}+\vv{x_G}$ la décomposition dans la somme directe. Montrer que, pour tout vecteur $\vv{x}\in E$, on a : $$\ds\vv{x_F}=\sum_{i=1}^{k}{\left\langle \vv{x},\vv{x_i}\right\rangle \vv{x_i}}\qquad\text{et}\qquad\vv{x_G}=\sum_{i=k+1}^{n}{\left\langle \vv{x},\vv{x_i}\right\rangle \vv{x_i}}$$ |
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| <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:gram_schmidt|Orthonormalisation de Gram-Schmidt]]**> | <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:gram_schmidt|Orthonormalisation de Gram-Schmidt]]**> |
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| Soit $\left\langle .,.\right\rangle$ un produit scalaire sur $E$ et $(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{p})$ une famille libre dans $E$. Alors, il existe une famille orthonormale $(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p})$ de $E$ telle que :\\ $$\ds\forall k\in\llbracket1,p\rrbracket,\;\mathrm{Vect}(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{k})=\mathrm{Vect}(\vv*{e}{1},\dots,\vv*{e}{k})$$De plus, on peut construire par récurrence $(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p})$ de sorte que, pour tout $k\in\llbracket1,p\rrbracket$, on a :\\ $$\ds\vv*{x}{k}=\frac{1}{\|\vv*{y}{k}\|}\vv*{y}{k}$$avec :\\ $$\ds\vv*{y}{k}=\vv*{e}{k}-\sum_{i=1}^{k-1}{\left\langle \vv*{e}{k},\vv*{x}{i}\right\rangle \vv*{x}{i}}$$ | Soit $\left\langle .,.\right\rangle$ un produit scalaire sur $E$ et $(\vv{e_1},\dots,\vv{e_p})$ une famille libre dans $E$. Alors, il existe une famille orthonormale $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ de $E$ telle que : $$\ds\forall k\in\llbracket1,p\rrbracket,\;\mathrm{Vect}(\vv{x_1},\dots,\vv{x_k})=\mathrm{Vect}(\vv{e_1},\dots,\vv{e_k})$$ De plus, on peut construire par récurrence $(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$ de sorte que, pour tout $k\in\llbracket1,p\rrbracket$, on a : $$\ds\vv{x_k}=\frac{1}{\|\vv{y_k}\|}\vv{y_k}\qquad\text{avec}\qquad\vv{y_k}=\vv{e_k}-\sum_{i=1}^{k-1}{\left\langle \vv{e_k},\vv{x_i}\right\rangle \vv{x_i}}$$ |
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| __**Remarque**__ | __**Remarque**__ |
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| Soit $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p}\right)$ et $\left(\vv*{y}{1},\dots,\vv*{y}{p}\right)$ deux familles libres telles que les deux sous-espaces qu'elles engendrent sont orthogonaux. On sait déjà que la concaténation des deux familles libres est libre (puisque les deux sous-espaces engendrés sont orthogonaux). Alors, le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt sur la famille $\left(\vv*{x}{1},\dots,\vv*{x}{p},\vv*{y}{1},\dots,\vv*{y}{p}\right)$ consiste à orthonormaliser seulement chacune des deux familles initiales. | Soit $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p}\right)$ et $\left(\vv{y_1},\dots,\vv{y_q}\right)$ deux familles libres telles que les deux sous-espaces qu'elles engendrent sont orthogonaux. On sait déjà que la concaténation des deux familles libres est libre (puisque les deux sous-espaces engendrés sont orthogonaux). Alors, le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt sur la famille $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p},\vv{y_1},\dots,\vv{y_q}\right)$ consiste à orthonormaliser seulement chacune des deux familles initiales. |
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