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math:2:existence_extremum_global

Condition suffisante d'existence d'un extremum global

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur une partie $\mathcal{U}$ de $\R^{n}$. Soit $A$ un point de $\mathcal{U}$.

  • On dit que $f$ admet un maximum (resp. minimum) global en $A$ sur $\mathcal{U}$ si et seulement si :
    $$\ds\forall M\in\mathcal{U},\; f(M)\leqslant f(A)\qquad\text{resp.}\; f(M)\geqslant f(A)$$
  • On dit que $f$ admet un maximum (resp. minimum) local en $A$ si et seulement si :
    $$\ds\exists r>0\;/\:\forall M\in\mathcal{U},\;\|\vv{AM}\|\leqslant r\;\implies\; f(M)\leqslant f(A)\qquad\text{resp.}\; f(M)\geqslant f(A)$$

Exemple

  1. Justifier que la fonction norme admet un minimum global sur $\R^{n}$. Admet-elle un maximum global sur $\R^{n}$ ?
  2. Admet-elle un minimum global sur $\left\{ (x_{1},\dots,x_{n})\in\R^{n}\mid0<x_{1}\leqslant1,\dots,0<x_{n}\leqslant1\right\}$ ? un maximum global ?

Théorème : “Analogue” en partie au théorème des valeurs intermédiaires, (admis)

Une fonction $f$ définie et continue sur une partie fermée et bornée $\mathcal{F}$ de $\R^{n}$ admet un maximum global et un minimum global sur $\mathcal{F}$.

Exemples

  1. Peut-on appliquer ce théorème à la situation de l'exemple qui précède ?
  2. Justifier que la fonction $f$ définie par $f(x,y)=(x^{2}+y^{2})\ln(x^{2}+y^{2})$ sur $\left\{ (x,y)\in\R^{2}\mid\alpha\leqslant x^{2}+y^{2}\leqslant\beta\right\}$ (où $0<\alpha<\beta$) admet un maximum global et un minimum global. Les préciser en fonction de $\alpha$ et de $\beta$.

Théorème : Application aux formes quadratiques

Soit $q$ la forme quadratique associée à une matrice symétrique réelle $A$ de $\mathcal{M}_{n}(\R)$. Alors, $q$ admet un minimum global $\alpha$ et un maximum global $\beta$ sur $\left\{ x\in\R^{n}\mid\|x\|=1\right\}$. De plus :
$$\ds\forall x\in\R^{n},\;\alpha\|x\|^{2}\leqslant q(x)\leqslant\beta\|x\|^{2}$$

math/2/existence_extremum_global.txt · Dernière modification: 2020/05/10 21:19 (modification externe)