Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:derivees_directionnelles [2015/11/26 10:12] – Alain Guichet
+++ math:2:derivees_directionnelles [2020/12/07 23:32] (Version actuelle) – Alain Guichet
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 <box red round 100% | **Définition : Chemin rectiligne sur une surface de classe C^1**>
-Soit $A$ un point de $\R^{n}$. Soit $\vv{u}=\alpha_{1}\vv*{e}{1}+\dots+\alpha_{n}\vv*{e}{n}$. Pour tout réel $t$, on pose :\\ $$g(t)=f(A+t\vv{u})$$On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Alors, $g$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R$ et on a :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; g'(t)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A+t\vv{u})\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}\partial_{i}(f)(A+t\vv{u}})$$En particulier :\\ $$\ds g'(0)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A)\right\rangle$$
+Soit $A$ un point de $\R^{n}$. Soit $\vv{u}=\alpha_{1}\vv{e_1}+\dots+\alpha_{n}\vv{e_n}$. Pour tout réel $t$, on pose :\\ $$g(t)=f(A+t\vv{u})$$On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Alors, $g$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R$ et on a :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; g'(t)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A+t\vv{u})\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}\partial_{i}(f)(A+t\vv{u}})$$En particulier :\\ $$\ds g'(0)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A)\right\rangle$$
 </box>
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 <box green round 100% | **Définition : Dérivée directionnelle**>
-Ce réel $g'(0)$ est appelé **dérivée de **$\boldsymbol{f}$** en le point **$\boldsymbol{A}$** dans la direction du vecteur **$\boldsymbol{\vv{u}}$ :\\ $$\ds f'_{\vv{u}}(A)=g'(0)=\lim_{t\to0}{\frac{f(A+t\vv{u})-f(A)}{t}}$$
+Lorsque $\vv{u}$ est __unitaire__, ce réel $g'(0)$ est appelé **dérivée de **$\boldsymbol{f}$** en le point **$\boldsymbol{A}$** dans la direction du vecteur **$\boldsymbol{\vv{u}}$ :\\ $$\ds f'_{\vv{u}}(A)=g'(0)=\lim_{t\to0}{\frac{f(A+t\vv{u})-f(A)}{t}}$$
 </box>
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       - Vérifier que :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; h'(t)=v_{1}'(t)\times\partial_{1}(f)(v_{1}(t),v_{2}(t))+v_{2}'(t)\times\partial_{2}(f)(v_{1}(t),v_{2}(t))$$
   - Déterminer la dérivée directionnelle de $f$ en $A$ dans la direction de $\vv{u}$ dans les cas suivants :
-    - $f\colon(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto\alpha_{1}x_{1}+\dots+\alpha_{n}x_{n}+c$ avec $A=(-1,\dots,-1)$ et $\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$
+    - $f\colon(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto\alpha_{1}x_{1}+\dots+\alpha_{n}x_{n}+c$ avec $A=(-1,\dots,-1)$ et $\ds\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$
-    - $f\colon M\mapsto\|\vv{OM}\|$ avec $A=O$ et $\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ puis avec $A=(-1,\dots,-1)$ et $\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$
+    - $f\colon M\mapsto\|\vv{OM}\|$ avec $A=O$ et $\ds\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ puis avec $A=(-1,\dots,-1)$ et $\ds\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$
     - $f\colon(x,y)\mapsto xy$, $\vv{u}=(a,b)$ tel que $a^{2}+b^{2}=1$ en $A=(1,1)$ puis en $B(-1,2)$ et $\vv{u}=(a,b)$. Déterminer ensuite le vecteur unitaire $\vv{u}=(a,b)$ tel que la dérivée dans la direction de $\vv{u}$ soit maximale.
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 __**Remarques**__
-  * En cas d'existence, on a clairement :\\ $$\ds \forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; f'_{\vv*{e}{i}}(A)=\partial_{i}(f)(A)$$
+  * En cas d'existence, on a clairement :\\ $$\ds \forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\; f'_{\vv{e_i}}(A)=\partial_{i}(f)(A)$$
   * Une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur l'ouvert $\R^{n}$ admet une dérivée directionnelle en tout point de $\R^{n}$ et dans toutes les directions.
   * On peut définir la notion de dérivée directionnelle pour des fonctions qui ne sont pas de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ mais alors il peut y avoir des points en lesquels la fonction n'admet pas de dérivée dans certaines directions.
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 Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ et $A$ un point de $\R^{n}$.
   * La dérivée directionnelle selon un vecteur unitaire $\vv{u}$ est égale à la pente de la courbe obtenue par intersection de $S_{f}$ avec l'hyperplan affine de $\R^{n+1}$ orthogonal à l'hyperplan $x_{n+1}=0$ et contenant la droite $d_{A,\vv{u}}$ de ce dernier hyperplan.
-  * Si $\nabla f(A)$ n'est pas le vecteur nul alors la plus grande dérivée directionnelle en $A$ est obtenue pour le vecteur unitaire $\ds\frac{1}{\|\nabla f(A)\|}\nabla f(A)$ (donc selon la direction de $\nabla f(A)$) et vaut $\|\nabla f(A)\|$ ; la plus petite dérivée directionnelle en $A$ est obtenue selon la même direction mais dans le sens opposé.
+  * Si $\nabla f(A)$ n'est pas le vecteur nul alors :
+    * la plus grande dérivée directionnelle en $A$ est obtenue pour le vecteur unitaire :\\ $$\ds\frac{1}{\|\nabla f(A)\|}\nabla f(A)$$(donc selon la direction de $\nabla f(A)$) et vaut $\|\nabla f(A)\|$
+    * la plus petite dérivée directionnelle en $A$ est obtenue selon la même direction mais dans le sens opposé.
   * Si $\nabla f(A)$ est le vecteur nul alors toutes les dérivées directionnelles sont nulles (le plan tangent est horizontal).