math:2:derivees_directionnelles
Différences
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math:2:derivees_directionnelles [2015/11/26 10:12] – Alain Guichet | math:2:derivees_directionnelles [2020/12/07 23:32] (Version actuelle) – Alain Guichet | ||
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<box red round 100% | **Définition : Chemin rectiligne sur une surface de classe C^1**> | <box red round 100% | **Définition : Chemin rectiligne sur une surface de classe C^1**> | ||
- | Soit $A$ un point de $\R^{n}$. Soit $\vv{u}=\alpha_{1}\vv*{e}{1}+\dots+\alpha_{n}\vv*{e}{n}$. Pour tout réel $t$, on pose :\\ $$g(t)=f(A+t\vv{u})$$On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Alors, $g$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R$ et on a :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; g' | + | Soit $A$ un point de $\R^{n}$. Soit $\vv{u}=\alpha_{1}\vv{e_1}+\dots+\alpha_{n}\vv{e_n}$. Pour tout réel $t$, on pose :\\ $$g(t)=f(A+t\vv{u})$$On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Alors, $g$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R$ et on a :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; g' |
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<box green round 100% | **Définition : Dérivée directionnelle**> | <box green round 100% | **Définition : Dérivée directionnelle**> | ||
- | Ce réel $g' | + | Lorsque $\vv{u}$ est __unitaire__, |
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Ligne 39: | Ligne 39: | ||
- Vérifier que :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; h' | - Vérifier que :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; h' | ||
- Déterminer la dérivée directionnelle de $f$ en $A$ dans la direction de $\vv{u}$ dans les cas suivants : | - Déterminer la dérivée directionnelle de $f$ en $A$ dans la direction de $\vv{u}$ dans les cas suivants : | ||
- | - $f\colon(x_{1}, | + | - $f\colon(x_{1}, |
- | - $f\colon M\mapsto\|\vv{OM}\|$ avec $A=O$ et $\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}}, | + | - $f\colon M\mapsto\|\vv{OM}\|$ avec $A=O$ et $\ds\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}}, |
- $f\colon(x, | - $f\colon(x, | ||
Ligne 46: | Ligne 46: | ||
__**Remarques**__ | __**Remarques**__ | ||
- | * En cas d' | + | * En cas d' |
* Une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur l' | * Une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur l' | ||
* On peut définir la notion de dérivée directionnelle pour des fonctions qui ne sont pas de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ mais alors il peut y avoir des points en lesquels la fonction n' | * On peut définir la notion de dérivée directionnelle pour des fonctions qui ne sont pas de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ mais alors il peut y avoir des points en lesquels la fonction n' | ||
Ligne 55: | Ligne 55: | ||
Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ et $A$ un point de $\R^{n}$. | Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ et $A$ un point de $\R^{n}$. | ||
* La dérivée directionnelle selon un vecteur unitaire $\vv{u}$ est égale à la pente de la courbe obtenue par intersection de $S_{f}$ avec l' | * La dérivée directionnelle selon un vecteur unitaire $\vv{u}$ est égale à la pente de la courbe obtenue par intersection de $S_{f}$ avec l' | ||
- | * Si $\nabla f(A)$ n'est pas le vecteur nul alors la plus grande dérivée directionnelle en $A$ est obtenue pour le vecteur unitaire $\ds\frac{1}{\|\nabla f(A)\|}\nabla f(A)$ (donc selon la direction de $\nabla f(A)$) et vaut $\|\nabla f(A)\|$ | + | * Si $\nabla f(A)$ n'est pas le vecteur nul alors : |
+ | * la plus grande dérivée directionnelle en $A$ est obtenue pour le vecteur unitaire | ||
+ | * la plus petite dérivée directionnelle en $A$ est obtenue selon la même direction mais dans le sens opposé. | ||
* Si $\nabla f(A)$ est le vecteur nul alors toutes les dérivées directionnelles sont nulles (le plan tangent est horizontal). | * Si $\nabla f(A)$ est le vecteur nul alors toutes les dérivées directionnelles sont nulles (le plan tangent est horizontal). | ||
math/2/derivees_directionnelles.1448529131.txt.gz · Dernière modification : 2020/05/10 21:15 (modification externe)