Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:derivees_directionnelles [2015/11/26 10:14] – Alain Guichet
+++ math:2:derivees_directionnelles [2020/12/07 23:31] – Alain Guichet
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 <box red round 100% | **Définition : Chemin rectiligne sur une surface de classe C^1**>
-Soit $A$ un point de $\R^{n}$. Soit $\vv{u}=\alpha_{1}\vv*{e}{1}+\dots+\alpha_{n}\vv*{e}{n}$. Pour tout réel $t$, on pose :\\ $$g(t)=f(A+t\vv{u})$$On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Alors, $g$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R$ et on a :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; g'(t)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A+t\vv{u})\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}\partial_{i}(f)(A+t\vv{u}})$$En particulier :\\ $$\ds g'(0)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A)\right\rangle$$
+Soit $A$ un point de $\R^{n}$. Soit $\vv{u}=\alpha_{1}\vv{e_1}+\dots+\alpha_{n}\vv{e_n}$. Pour tout réel $t$, on pose :\\ $$g(t)=f(A+t\vv{u})$$On suppose que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$. Alors, $g$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R$ et on a :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; g'(t)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A+t\vv{u})\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i}\partial_{i}(f)(A+t\vv{u}})$$En particulier :\\ $$\ds g'(0)=\left\langle \vv{u},\nabla f(A)\right\rangle$$
 </box>
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 <box green round 100% | **Définition : Dérivée directionnelle**>
-Ce réel $g'(0)$ est appelé **dérivée de **$\boldsymbol{f}$** en le point **$\boldsymbol{A}$** dans la direction du vecteur **$\boldsymbol{\vv{u}}$ :\\ $$\ds f'_{\vv{u}}(A)=g'(0)=\lim_{t\to0}{\frac{f(A+t\vv{u})-f(A)}{t}}$$
+Lorsque $\vv{u}$ est __unitaire__, ce réel $g'(0)$ est appelé **dérivée de **$\boldsymbol{f}$** en le point **$\boldsymbol{A}$** dans la direction du vecteur **$\boldsymbol{\vv{u}}$ :\\ $$\ds f'_{\vv{u}}(A)=g'(0)=\lim_{t\to0}{\frac{f(A+t\vv{u})-f(A)}{t}}$$
 </box>