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math:2:derivees_directionnelles [2014/11/24 11:16] – Alain Guichet | math:2:derivees_directionnelles [2015/11/26 10:14] – Alain Guichet |
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- Vérifier que :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; h'(t)=v_{1}'(t)\times\partial_{1}(f)(v_{1}(t),v_{2}(t))+v_{2}'(t)\times\partial_{2}(f)(v_{1}(t),v_{2}(t))$$ | - Vérifier que :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; h'(t)=v_{1}'(t)\times\partial_{1}(f)(v_{1}(t),v_{2}(t))+v_{2}'(t)\times\partial_{2}(f)(v_{1}(t),v_{2}(t))$$ |
- Déterminer la dérivée directionnelle de $f$ en $A$ dans la direction de $\vv{u}$ dans les cas suivants : | - Déterminer la dérivée directionnelle de $f$ en $A$ dans la direction de $\vv{u}$ dans les cas suivants : |
- $f\colon(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto\alpha_{1}x_{1}+\dots+\alpha_{n}x_{n}+c$ avec $A=(-1,\dots,-1)$ et $\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ | - $f\colon(x_{1},\dots,x_{n})\mapsto\alpha_{1}x_{1}+\dots+\alpha_{n}x_{n}+c$ avec $A=(-1,\dots,-1)$ et $\ds\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ |
- $f\colon M\mapsto\|\vv{OM}\|$ avec $A=O$ et $\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ puis avec $A=(-1,\dots,-1)$ et $\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ | - $f\colon M\mapsto\|\vv{OM}\|$ avec $A=O$ et $\ds\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ puis avec $A=(-1,\dots,-1)$ et $\ds\vv{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots,\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ |
- $f\colon(x,y)\mapsto xy$, $\vv{u}=(a,b)$ tel que $a^{2}+b^{2}=1$ en $A=(1,1)$ puis en $B(-1,2)$ et $\vv{u}=(a,b)$. Déterminer ensuite le vecteur unitaire $\vv{u}=(a,b)$ tel que la dérivée dans la direction de $\vv{u}$ soit maximale. | - $f\colon(x,y)\mapsto xy$, $\vv{u}=(a,b)$ tel que $a^{2}+b^{2}=1$ en $A=(1,1)$ puis en $B(-1,2)$ et $\vv{u}=(a,b)$. Déterminer ensuite le vecteur unitaire $\vv{u}=(a,b)$ tel que la dérivée dans la direction de $\vv{u}$ soit maximale. |
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Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ et $A$ un point de $\R^{n}$. | Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R^{n}$ et $A$ un point de $\R^{n}$. |
* La dérivée directionnelle selon un vecteur unitaire $\vv{u}$ est égale à la pente de la courbe obtenue par intersection de $S_{f}$ avec l'hyperplan affine de $\R^{n+1}$ orthogonal à l'hyperplan $x_{n+1}=0$ et contenant la droite $d_{A,\vv{u}}$ de ce dernier hyperplan. | * La dérivée directionnelle selon un vecteur unitaire $\vv{u}$ est égale à la pente de la courbe obtenue par intersection de $S_{f}$ avec l'hyperplan affine de $\R^{n+1}$ orthogonal à l'hyperplan $x_{n+1}=0$ et contenant la droite $d_{A,\vv{u}}$ de ce dernier hyperplan. |
* Si $\nabla f(A)$ n'est pas le vecteur nul alors la plus grande dérivée directionnelle en $A$ est obtenue pour le vecteur unitaire $\frac{1}{\|\nabla f(A)\|}\nabla f(A)$ (donc selon la direction de $\nabla f(A)$) et vaut $\|\nabla f(A)\|$ ; la plus petite dérivée directionnelle en $A$ est obtenue selon la même direction mais dans le sens opposé. | * Si $\nabla f(A)$ n'est pas le vecteur nul alors : |
| * la plus grande dérivée directionnelle en $A$ est obtenue pour le vecteur unitaire :\\ $$\ds\frac{1}{\|\nabla f(A)\|}\nabla f(A)$$(donc selon la direction de $\nabla f(A)$) et vaut $\|\nabla f(A)\|$ |
| * la plus petite dérivée directionnelle en $A$ est obtenue selon la même direction mais dans le sens opposé. |
* Si $\nabla f(A)$ est le vecteur nul alors toutes les dérivées directionnelles sont nulles (le plan tangent est horizontal). | * Si $\nabla f(A)$ est le vecteur nul alors toutes les dérivées directionnelles sont nulles (le plan tangent est horizontal). |
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