Différences
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math:2:derive [2020/05/12 09:40] – [Différentes formules de Taylor] Alain Guichet | math:2:derive [2020/05/12 09:41] (Version actuelle) – [Différentes formules de Taylor] Alain Guichet |
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__**Remarque : **__\\ | __**Remarque : **__\\ |
Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ au voisinage de $x$ alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\frac{f(x+h)-f(x)}{h} & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{f(x)+f'(x)h+o(h)-f(x)}{h} \\ & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{f'(x)h+o(h)}{h} \\ & \underset{h\to0}{=} & f'(x)+o(1) \end{array}$$ Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ au voisinage de $x$ alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{[f(x)+f'(x)h+\frac12 f''(x)h^2+o(h^2)]-[f(x)-f'(x)h+\frac12 f''(x)h^2+o(h^2)]}{2h} \\ & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{2f'(x)h+o(h^2)}{2h} \\ & \underset{h\to0}{=} & f'(x)+o(h) \end{array}$$ On en déduit que l'approximation du nombre dérivé est bien meilleure par cette seconde méthode. On peut tester le code Scilab qui suit pour s'en convaincre : | Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ au voisinage de $x$ alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\frac{f(x+h)-f(x)}{h} & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{f(x)+f'(x)h+o(h)-f(x)}{h} \\ & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{f'(x)h+o(h)}{h} \\ & \underset{h\to0}{=} & f'(x)+o(1) \end{array}$$ Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ au voisinage de $x$ alors : $$\begin{array}{rcl} \ds\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{[f(x)+f'(x)h+\frac12 f''(x)h^2+o(h^2)]-[f(x)-f'(x)h+\frac12 f''(x)h^2+o(h^2)]}{2h} \\ & \underset{h\to0}{=} & \ds\frac{2f'(x)h+o(h^2)}{2h} \\ & \underset{h\to0}{=} & f'(x)+o(h) \end{array}$$ On en déduit que l'approximation du nombre dérivé est bien meilleure par cette seconde méthode. On peut tester le code Scilab qui suit pour s'en convaincre : |
<code=scilab> | <code=Scilab> |
function y=f(x) | function y=f(x) |
y=exp(x) | y=exp(x) |