Différences
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math:2:densite_transfert [2015/10/26 16:16] – Alain Guichet | math:2:densite_transfert [2016/11/07 18:46] – Alain Guichet |
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<box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:theoreme_transfert_densite_1|Théorème de transfert, première partie]]**> | <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:theoreme_transfert_densite_1|Théorème de transfert, première partie]]**> |
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Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont une densité $f_{X}$ est nulle en dehors de l'intervalle $]a,b[$ de $\R$ (avec $-\infty\leqslant a<b\leqslant+\infty$). Soit $g$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$, strictement monotone et de fonction dérivée $g'$ ne s'annulant pas sur l'intervalle $]a,b[$. Alors, $Y=g(X)$ est une variable aléatoire à densité dont une densité est la fonction $f_{Y}$ définie par :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; f_{Y}(t)=\begin{cases} 0 & \text{si}\; t\notin\left]g(a),g(b)\right[\\ \ds\frac{f_{X}(g^{-1}(t))}{\left|g'(g^{-1}(t))\right|} & \text{si}\; t\in\left]g(a),g(b)\right[ \end{cases}$$ | Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont une densité $f_{X}$ est nulle en dehors de l'intervalle $]a,b[$ de $\R$ (avec $-\infty\leqslant a<b\leqslant+\infty$). Soit $g$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$, strictement monotone et de fonction dérivée $g'$ ne s'annulant pas sur l'intervalle $]a,b[$. Alors, $Y=g(X)$ est une variable aléatoire à densité dont une densité est la fonction $f_{Y}$ définie par :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; f_{Y}(t)=\begin{cases} 0 & \ds\text{si}\; t\notin\left]\lim_{x\to a}{g(x)},\lim_{x\to b}{g(x)}\right[\\ \ds\frac{f_{X}(g^{-1}(t))}{\left|g'(g^{-1}(t))\right|} & \ds\text{si}\; t\in\left]\lim_{x\to a}{g(x)},\lim_{x\to b}{g(x)}\right[ \end{cases}$$ |
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(lorsque $a=-\infty$, $g(a)$ désigne la limite $\ds\lim_{t\to-\infty}{g(t)}$ ; même principe pour $b=+\infty$). | |
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