Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:densite_transfert [2015/10/26 11:18] – Alain Guichet
+++ math:2:densite_transfert [2016/11/07 18:46] – Alain Guichet
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 <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:theoreme_transfert_densite_1|Théorème de transfert, première partie]]**>
-Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont une densité $f_{X}$ est nulle en dehors de l'intervalle $]a,b[$ de $\R$ (avec $-\infty\leqslant a<b\leqslant+\infty$). Soit $g$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$, strictement monotone et de fonction dérivée $g'$ ne s'annulant pas sur l'intervalle $]a,b[$. Alors, $Y=g(X)$ est une variable aléatoire à densité dont une densité est la fonction $f_{Y}$ définie par :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; f_{Y}(t)=\begin{cases} 0 & \text{si}\; t\notin\left]g(a),g(b)\right[\\ \ds\frac{f_{X}(g^{-1}(t))}{\left|g'(g^{-1}(t))\right|} & \text{si}\; t\in\left]g(a),g(b)\right[ \end{cases}$$
+Soit $X$ une variable aléatoire à densité dont une densité $f_{X}$ est nulle en dehors de l'intervalle $]a,b[$ de $\R$ (avec $-\infty\leqslant a<b\leqslant+\infty$). Soit $g$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$, strictement monotone et de fonction dérivée $g'$ ne s'annulant pas sur l'intervalle $]a,b[$. Alors, $Y=g(X)$ est une variable aléatoire à densité dont une densité est la fonction $f_{Y}$ définie par :\\ $$\ds\forall t\in\R,\; f_{Y}(t)=\begin{cases} 0 & \ds\text{si}\; t\notin\left]\lim_{x\to a}{g(x)},\lim_{x\to b}{g(x)}\right[\\ \ds\frac{f_{X}(g^{-1}(t))}{\left|g'(g^{-1}(t))\right|} & \ds\text{si}\; t\in\left]\lim_{x\to a}{g(x)},\lim_{x\to b}{g(x)}\right[ \end{cases}$$
-(lorsque $a=-\infty$, $g(a)$ désigne la limite $\ds\lim_{t\to-\infty}{g(t)}$ ; même principe pour $b=+\infty$).
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   - **Cas de fonctions de transferts non bijectives**.\\ Soit $X$ une variable aléatoire dont $f$ est une densité.
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-      - Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par :\\ $$\ds g(t)=\begin{cases} 0 & \text{si}\; t\leqslant0\\ \frac{1}{2\sqrt{t}}\left[f\left(\sqrt{t}\right)+f\left(-\sqrt{t}\right)\right] & \text{si}\; t>0 \end{cases}$$est une densité de la variable aléatoire $Y=X^{2}$.\\ //Le résultat peut être retenu mais il vaut mieux savoir le retrouver//.
+      - Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par :\\ $$\ds g(t)=\begin{cases} 0 & \text{si}\; t\leqslant0\\ \ds\frac{1}{2\sqrt{t}}\left[f\left(\sqrt{t}\right)+f\left(-\sqrt{t}\right)\right] & \text{si}\; t>0 \end{cases}$$est une densité de la variable aléatoire $Y=X^{2}$.\\ //Le résultat peut être retenu mais il vaut mieux savoir le retrouver//.
       - Dans cette question, on suppose que $\ds f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^{2})}$. Vérifier que $f$ est bien une densité de probabilité d'une variable $X$, préciser $F_{X}$, en déduire la fonction de répartition $F_{Y}$ de $Y=X^{2}$ puis une densité $g$ de $Y$.
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