On a :
$$\begin{array}{rcl} \mathbb{V}(X+Y) & = & \mathrm{Cov}(X+Y,X+Y) \\ & = & \mathrm{Cov}(X,X)+\mathrm{Cov}(X,Y)+\mathrm{Cov}(Y,X)+\mathrm{Cov}(Y,Y) \\ & = & \mathbb{V}(X)+2\mathrm{Cov}(X,Y)+\mathbb{V}(Y) \end{array}$$

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes alors $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ d'où le résultat.