Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

--- math:2:cv_dv_suite [2015/06/21 18:17] – Links to math:2:3_2_7:monotone changed to math:2:demo:monotone Alain Guichet
+++ math:2:cv_dv_suite [2020/05/12 15:46] (Version actuelle) – Alain Guichet
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 Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ une suite réelle.
   * On dit que la suite $(u_{n})$ **admet le réel **$\boldsymbol{\ell}$** pour limite** si et seulement si :\\ $$\forall\varepsilon>0,\;\exists n_{0}\geqslant p\;/\;\forall n\geqslant n_{0},\;|u_{n}-\ell|\leqslant\varepsilon$$On note alors $\ds \lim_{n\to+\infty}{u_{n}}=\ell$ et on dit que la suite $(u_{n})$ converge vers le réel $\ell$.
-  * On dit que la suite $(u_{n})$ **admet **$\boldsymbol{+\infty}$ (resp. $\boldsymbol{-\infty}$)** pour limite** si et seulement si :\\ $$\forall M>0\;(\text{resp}\;<0),\;\exists n_{0}\geqslant p\;/\;\forall n\geqslant n_{0},\; u_{n}\geqslant M\;(\resp\;\leqslant M$)$$On note alors $\ds \lim_{n\to+\infty}{u_{n}}=+\infty\;(\text{resp}\;-\infty)$ et on dit que la suite $(u_{n})$ **diverge**.
+  * On dit que la suite $(u_{n})$ **admet **$\boldsymbol{+\infty}$ (resp. $\boldsymbol{-\infty}$)** pour limite** si et seulement si :\\ $$\forall M>0\;(\text{resp}\;<0),\;\exists n_{0}\geqslant p\;/\;\forall n\geqslant n_{0},\; u_{n}\geqslant M\;(\text{resp}\;\leqslant M)$$ On note alors $\ds \lim_{n\to+\infty}{u_{n}}=+\infty\;(\text{resp}\;-\infty)$ et on dit que la suite $(u_{n})$ **diverge**.
   * On dit que la suite $(u_{n})$ **n'admet pas de limite** si et seulement si elle ne converge pas et n'admet pas $\pm\infty$ pour limite. Dans ce cas aussi, on dit qu'elle **diverge**.
 </box>
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+<html><a name="pair_impair"></a></html>
 __**Exercice**__\\
-Soit $(u_{n})_{n\geqslant0}$ une suite réelle. On dit que la suite $(v_{n})_{n\geqslant0}$ est **extraite** de la suite $(u_{n})$ si es seulement s'il existe une application $\varphi\colon\N\to\N$ strictement croissante telle que :\\ $$\forall n\in\N,\; v_{n}=u_{\varphi(n)}$$Par exemple, la suite $(u_{2n})_{n\geqslant0}$ est extraite de la suite $u$ et est appelée **suite extraite des rangs pairs** de la suite $u$. On définit de même la **suite extraite des rangs impairs** $(u_{2n+1})_{n\geqslant0}$.
+Soit $(u_{n})_{n\geqslant0}$ une suite réelle. On dit que la suite $(v_{n})_{n\geqslant0}$ est **extraite** de la suite $(u_{n})$ si et seulement s'il existe une application $\varphi\colon\N\to\N$ strictement croissante telle que :\\ $$\forall n\in\N,\; v_{n}=u_{\varphi(n)}$$Par exemple, la suite $(u_{2n})_{n\geqslant0}$ est extraite de la suite $u$ et est appelée **suite extraite des rangs pairs** de la suite $u$. On définit de même la **suite extraite des rangs impairs** $(u_{2n+1})_{n\geqslant0}$.
   - Soit $\varphi\colon\N\to\N$ strictement croissante.
     - Montrer que : $\forall n\in\N,\;\varphi(n)\geqslant n$.
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     - __Application__ : Montrer que la suite $\ds\left(\cos\left(n\frac{\pi}{6}\right)\right)_{n\geqslant0}$ diverge.
   -
-    - On suppose que les suites $(u_{2n})_{n\geqslant0}$ et $(u_{2n+1})_{n\geqslant0}$ convergent toutes les deux vers le même réel $\ell$. Démontrer que la suite $(u_{n})_{n\geqslant0}$ converge et admet $\ell$ pour limite.
+    - On suppose que les suites $(u_{2n})_{n\geqslant0}$ et $(u_{2n+1})_{n\geqslant0}$ convergent toutes les deux vers le même réel $\ell$. [[:math:2:demo:pair_impair|Démontrer que]] la suite $(u_{n})_{n\geqslant0}$ converge et admet $\ell$ pour limite.
     - On suppose que les suites $(u_{2n})_{n\geqslant0}$ et $(u_{2n+1})_{n\geqslant0}$ admettent toutes les deux pour limite $+\infty$. Démontrer que la suite $(u_{n})_{n\geqslant0}$ admet $+\infty$ pour limite.
     - __Application__ : On pose $u_{0}=1$ et $\ds u_{n+1}=\frac{1}{1+u_{n}}$ pour tout entier naturel $n$. Montrer que la suite extraite des rangs pairs et celle des rangs impairs de $u$ sont adjacentes. En déduire la nature et la limite de la suite $u$.