math:2:convergence_en_loi
Différences
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math:2:convergence_en_loi [2020/05/25 11:22] – Alain Guichet | math:2:convergence_en_loi [2023/02/04 11:03] – [Théorème de la limite centrée et nouvelles approximations] Alain Guichet | ||
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<box 100% red round | **Théorème : Lien entre les deux notions de convergence** (HP)> | <box 100% red round | **Théorème : Lien entre les deux notions de convergence** (HP)> | ||
- | Si $X_{n}\xrightarrow{\mathcal{P}}X$ alors $X_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}X$. La réciproque est fausse. | + | Si $X_{n}\xrightarrow{\mathbb{P}}X$ alors $X_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}X$. La réciproque est fausse. |
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Ligne 82: | Ligne 82: | ||
<box 100% red round | **Théorème : Théorème de Slutsky** (admis)> | <box 100% red round | **Théorème : Théorème de Slutsky** (admis)> | ||
- | Si $X_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}X$ et $Y_{n}\xrightarrow{\mathcal{P}}c1\!\!1_{\Omega}$ (convergence en loi pour la première suite, en probabilité pour la seconde) alors :\\ $$\ds X_{n}+Y_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}X+c\qquad\text{et}\qquad X_{n}Y_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}cX$$ | + | Si $X_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}X$ et $Y_{n}\xrightarrow{\mathcal{P}}c1\!\!1_{\Omega}$ |
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Ligne 143: | Ligne 143: | ||
<box 100% red round | **Théorème : [[: | <box 100% red round | **Théorème : [[: | ||
- | On suppose que les $X_{n}$ sont mutuellement indépendantes, | + | On suppose que les $X_{n}$ sont mutuellement indépendantes, |
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+ | |||
+ | <code python> | ||
+ | # Loi faible des grands nombres et théorème central limite | ||
+ | # sur une suite de variables de Bernoulli iid | ||
+ | import numpy as np ; import numpy.random as rd | ||
+ | import matplotlib.pyplot as plt | ||
+ | p=0.4 ; N=10**5 ; K=np.arange(1, | ||
+ | for k in K : | ||
+ | n=10**k ; X=rd.binomial(1, | ||
+ | Xbarre=np.mean(X, | ||
+ | plt.subplot(a, | ||
+ | XbarreEtoile=(Xbarre-p)/ | ||
+ | x=np.arange(-3, | ||
+ | plt.subplot(a, | ||
+ | plt.plot(x, | ||
+ | plt.show() | ||
+ | </ | ||
<code scilab> | <code scilab> | ||
Ligne 184: | Ligne 201: | ||
{{ : | {{ : | ||
+ | |||
+ | <code scilab> | ||
+ | // comparatif de convergence entre | ||
+ | // - loi faible des grands nombres (bleu) --> valeur de la limite | ||
+ | // - théorème de la limite centrée (rouge) --> étalement des résultats autour de la limite | ||
+ | // pour une même suite de loi exponentielles de paramètre 1 | ||
+ | N=1d4 ; nmax=1d3 ; m=1 ; s=1 | ||
+ | X=grand(N, | ||
+ | liste_n=[5, | ||
+ | r=length(liste_n) | ||
+ | for i=1:r | ||
+ | n=liste_n(i) | ||
+ | Z=mean(X(:, | ||
+ | Y=(Z-m)/ | ||
+ | subplot(2, | ||
+ | histplot([-5: | ||
+ | subplot(2, | ||
+ | histplot([-5: | ||
+ | end | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
+ | |||
+ | {{ : | ||
__**Exemples**__ | __**Exemples**__ |
math/2/convergence_en_loi.txt · Dernière modification : 2023/02/04 12:03 de Alain Guichet