Les deux révisions précédentesRévision précédenteProchaine révision | Révision précédente |
math:2:calcul_integrale_segment [2019/06/29 11:39] – Links to math:2:demo:equation_differentielle changed to organisation_2019_2020:public:math:2:demo:equation_differentielle Alain Guichet | math:2:calcul_integrale_segment [2024/02/24 16:52] (Version actuelle) – Alain Guichet |
---|
| |
| |
<html><a name="integration_par_parties"></a></html> | |
<box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:integration_par_parties|Intégration par parties]]**> | <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:integration_par_parties|Intégration par parties]]**> |
| |
| |
| |
<html><a name="changement_variable"></a></html> | <box 100% red round | **Théorème : [[.:demo:changement_variable|Changement de variable]]**> |
<box 100% red round | **Théorème : [[organisation_2019_2020:math:2:demo:changement_variable|Changement de variable]]**> | |
| |
Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et $u$ une bijection de $J$ dans $I$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $J$. Alors :\\ $$\ds\forall(\alpha,\beta)\in J^{2},\;\int_{\alpha}^{\beta}{f(u(t))u'(t)\mathrm{d} t}=\int_{u(\alpha)}^{u(\beta)}{f(x)\mathrm{d} x}$$(la bijectivité n'est pas nécessaire dans cette première égalité) ou encore :\\ $$\ds\forall(a,b)\in I^{2},\;\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}{f(u(x))u'(x)\mathrm{d} x}$$//Les changements de variable non affines sont fournis//. | Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et $u$ une bijection de $J$ dans $I$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $J$. Alors :\\ $$\ds\forall(\alpha,\beta)\in J^{2},\;\int_{\alpha}^{\beta}{f(u(t))u'(t)\mathrm{d} t}=\int_{u(\alpha)}^{u(\beta)}{f(x)\mathrm{d} x}$$(la bijectivité n'est pas nécessaire dans cette première égalité) ou encore :\\ $$\ds\forall(a,b)\in I^{2},\;\int_{a}^{b}{f(t)\mathrm{d} t}=\int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}{f(u(x))u'(x)\mathrm{d} x}$$//Les changements de variable non affines sont fournis//. |
| |
| |
<html><a name="equation_differentielle"></a></html> | |
__**Exemples**__ | __**Exemples**__ |
- En considérant le changement de variable $u=\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}$, calculer :\\ $$\ds\int_{0}^{\ln(2)}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}\mathrm{d} x}$$ | - En considérant le changement de variable $u=\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}$, calculer :\\ $$\ds\int_{0}^{\ln(2)}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}\mathrm{d} x}$$ |
- Déterminer une primitive de $x\mapsto\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ sur $[-a,a]$ (on pourra poser $t=a\sin(x)$). | - Déterminer une primitive de $x\mapsto\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ sur $[-a,a]$ (on pourra poser $t=a\sin(x)$). |
- On appelle **équation différentielle** toute équation comportant (au moins) la dérivée $y'$ d'une inconnue qui est une fonction $y$ dérivable sur un intervalle $I$. Résoudre une équation différentielle sur un intervalle $I$ c'est déterminer l'ensemble des fonctions $f$ dérivables sur $I$ qui vérifient cette équation. Par exemple, les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $y'=0$ sont les fonctions constantes sur $\R$ ; les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $y'=y$ sont les fonctions $f\colon t\mapsto\lambda\exp(t)$ où $\lambda$ est un réel. | - On appelle **équation différentielle** toute équation comportant (au moins) la dérivée $y'$ d'une inconnue qui est une fonction $y$ dérivable sur un intervalle $I$. Résoudre une équation différentielle sur un intervalle $I$ c'est déterminer l'ensemble des fonctions $f$ dérivables sur $I$ qui vérifient cette équation. Par exemple, les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $y'=0$ sont les fonctions constantes sur $\R$ ; les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $y'=y$ sont les fonctions $f\colon t\mapsto\lambda\exp(t)$ où $\lambda$ est un réel. |
- Soit $u$ une fonction continue sur $I$. Soit $U$ une primitive de $u$ sur $I$.\\ Montrer que les solutions sur $I$ de l'équation différentielle $y'+uy=0$ sont [[organisation_2019_2020:public::math:2:demo:equation_differentielle|les fonctions de la forme]] :\\ $$\ds\exists K\in\R\;/\;\forall t\in I,\; f(t)=K\mathrm{e}^{-U(t)}$$(c'est le sous-espace vectoriel engendré par la fonction $t\mapsto\mathrm{e}^{-U(t)}$). | - Soit $u$ une fonction continue sur $I$. Soit $U$ une primitive de $u$ sur $I$.\\ Montrer que les solutions sur $I$ de l'équation différentielle $y'+uy=0$ sont [[:math:2:demo:equation_differentielle|les fonctions de la forme]] :\\ $$\ds\exists K\in\R\;/\;\forall t\in I,\; f(t)=K\mathrm{e}^{-U(t)}$$(c'est le sous-espace vectoriel engendré par la fonction $t\mapsto\mathrm{e}^{-U(t)}$). |
- //Application 1// : Résoudre sur $]-1,+\infty[$ l'équation différentielle $y'+\ln(x+1)y=0$. | - //Application 1// : Résoudre sur $]-1,+\infty[$ l'équation différentielle $y'+\ln(x+1)y=0$. |
- //Application 2// : Équation différentielle du premier ordre avec second membre. | - //Application 2// : Équation différentielle du premier ordre avec second membre. |