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| math:2:c [2020/05/10 22:41] – Alain Guichet | math:2:c [2020/05/10 23:36] (Version actuelle) – [Nombres complexes et trigonométrie] Alain Guichet |
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| <box 100% red round | **Théorème : Opérations et arguments**> | <box 100% red round | **Théorème : Opérations et arguments**> |
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| * Pour tout couple $(z,z')$ de complexes non nuls, on a :\\ $$\arg(-z)=\arg(z)+\pi+2k\pi$$$$\arg(\bar{z})=-\arg(z)+2k\pi$$$$\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')+2k\pi$$$$\ds\arg\left(\frac{1}{z}\right)=-\arg(z)+2k\pi$$$$\ds\arg\left(\frac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')+2k\pi$$ | * Pour tout couple $(z,z')$ de complexes non nuls, on a :\\ $$\arg(-z)=\arg(z)+\pi+2k\pi$$$$\arg(\bar{z})=-\arg(z)+2k\pi$$ $$\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')+2k\pi$$ $$\ds\arg\left(\frac{1}{z}\right)=-\arg(z)+2k\pi$$ $$\ds\arg\left(\frac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')+2k\pi$$ |
| * Formule de De Moivre :\\ $$\ds\forall n\in\Z,\;\forall\theta\in\R,\;\big[\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)\big]^{n}=\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta)$$ | * Formule de De Moivre :\\ $$\ds\forall n\in\Z,\;\forall\theta\in\R,\;\big[\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)\big]^{n}=\cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta)$$ |
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| Pour tout réel $\theta$, on a :\\ | Pour tout réel $\theta$, on a :\\ |
| $$\ds\cos(\theta)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2}$$ | $$\ds\cos(\theta)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2}$$ |
| $$\ds\sin(\theta)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}$$ | $$\ds\sin(\theta)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}$$ |
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| * **Relation de Pythagore**:\\ $$\ds\forall x\in\R,\;\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1$$ | * **Relation de Pythagore**:\\ $$\ds\forall x\in\R,\;\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1$$ |
| * **Formules d'addition**. Pour tout $(a,b)\in\R^{2}$, on a :\\ $$\ds\cos\left(a+b\right)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$$\\$$\ds\cos\left(a-b\right)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$$\\ $$\ds\sin\left(a+b\right)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$$$$\ds\sin\left(a-b\right)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$$ | * **Formules d'addition**. Pour tout $(a,b)\in\R^{2}$, on a :\\ $$\ds\cos\left(a+b\right)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$$ $$\ds\cos\left(a-b\right)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$$ $$\ds\sin\left(a+b\right)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$$ $$\ds\sin\left(a-b\right)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$$ |
| * **Formules de duplication** (cas $b=a$ dans les formules d'addition). Pour tout $a\in\R$, on a :\\ $$\ds\cos(2a)=2\cos^{2}(a)-1=1-2\sin^{2}(a)$$\\ $$\ds\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$$ | * **Formules de duplication** (cas $b=a$ dans les formules d'addition). Pour tout $a\in\R$, on a :\\ $$\ds\cos(2a)=2\cos^{2}(a)-1=1-2\sin^{2}(a)$$ $$\ds\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$$ |
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| <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:racine_de_l_unite|Racines de l'unité]]**> | <box 100% red round | **Théorème : [[:math:2:demo:racine_de_l_unite|Racines de l'unité]]**> |
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| * Pour $n\in\N^{*}$, l'équation $z^{n}=1$ admet $n$ solutions dans $\C$, les complexes $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{n}k}$ pour tout $k\in\llbracket0,n-1\rrbracket$.\\ Ces solutions sont appelées **racines **$\boldsymbol{n}$**-ème de l'unité**. | * Pour $n\in\N^{*}$, l'équation $z^{n}=1$ admet $n$ solutions dans $\C$, les complexes $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{n}k}$ pour tout $k\in[\![0,n-1]\!]$.\\ Ces solutions sont appelées **racines **$\boldsymbol{n}$**-ème de l'unité**. |
| * Si $n\geqslant2$ alors la somme des racines $n$-ème de l'unité est égale à 0. | * Si $n\geqslant2$ alors la somme des racines $n$-ème de l'unité est égale à 0. |
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