Table des matières
Éléments propres d'un endomorphisme ou d'une matrice
Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire explicite, $E$ est un $\K$-espace vectoriel.
Notion de valeur propre
Définition
On suppose que $E$ est de dimension finie ou infinie.
Soit $u\in\mathcal{L}(E)$.
- On dit que $\lambda\in\K$ est une valeur propre de l'endomorphisme $u$ si et seulement si : $$\ds\exists\vv{x}\in E\setminus\{\vv{0_E}\}\;/\; u(\vv{x})=\lambda\vv{x}$$ Un tel vecteur $\vv{x}$ est alors appelé vecteur propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$.
Autrement dit, $\lambda$ est valeur propre de $u$ si et seulement si $u-\lambda\mathrm{Id}_{E}$ n'est pas injectif. - On appelle sous-espace propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$ l'ensemble constitué du vecteur nul et des vecteurs propres associés à $\lambda$, c'est à dire l'ensemble : $$\ds E_{\lambda}(u)=\{\vv{x}\in E\,|\, u(\vv{x})=\lambda\vv{x}\}=\mathrm{Ker}(u-\lambda\mathrm{Id}_{E})$$
- L'ensemble des valeurs propres de $u$ s'appelle le spectre de $u$, on le note $\mathrm{Sp}(u)$.
Exemples
- Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $u=\lambda\mathrm{Id}_{E}$ (où $\lambda\in\K$).
- Soit $f$ l'endomorphisme de $\R^{3}$ défini par :
$$\ds\forall\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\in\R^{3},\; f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x+y+z \\ x+y+z \\ x+y+z \end{pmatrix}$$ Déterminer ses valeurs propres ainsi que ses sous-espaces propres. Que constate-t-on sur les sous-espaces propres ? - Soit $u$ l'application définie sur $\R_{3}[X]$ par : pour tout polynôme $P\in\R_{3}[X]$, $u(P)$ est le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-1)^{2}$.
- Vérifier que $u\in\mathcal{L}(\R_{3}[X])$ puis préciser la matrice $M$ de $u$ dans la base $(1,(X-1),(X-1)^{2})$ de $\R_{3}[X]$.
- En déduire des valeurs propres de $u$ ainsi que des vecteurs propres qui leur sont associés.
- Un exemple en dimension infinie. Soit $v\colon\mathcal{C}^{\infty}(\R)\to\mathcal{C}^{\infty}(\R)$ définie par :
$$\ds\forall f\in\mathcal{C}^{\infty}(\R),\; v(f)=f''$$- Vérifier que $v\in\mathcal{L}(\mathcal{C}^{\infty}(\R))$.
- Soit $a\in\R$. Justifier que $x\mapsto\mathrm{e}^{ax}$ est un vecteur propre de $v$ associé à une valeur propre que l'on précisera.
- Montrer que les fonctions sinus et cosinus sont deux vecteurs propres linéairement indépendants appartenant à un même sous-espace propre dont on précisera la valeur propre à laquelle ils sont associés.
- Montrer enfin que $\mathrm{Sp}(v)=\R$.
<html><a name=“caracterisation_valeur_propre”></a></html>
Théorème : Caractérisation des valeurs propres
On suppose que $E$ est de dimension finie.
Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ et $\lambda\in\K$. Les quatre propositions qui suivent sont équivalentes :
$$\lambda\in\mathrm{Sp}(u)$$ $$u-\lambda\mathrm{Id}_{E}\notin\mathcal{GL}(E)$$ $$\mathrm{rg}(u-\lambda\mathrm{Id}_{E})<\dim(E)$$ $$\dim(E_{\lambda}(u))=\dim(E)-\mathrm{rg}(u-\lambda\mathrm{Id}_{E})>0$$ En particulier : $$u\in\mathcal{GL}(E)\;\iff\;0\not\in\mathrm{Sp}(u)$$
Exemples
- Déterminer le spectre et une base des sous-espaces propres des endomorphismes représentés dans la base canonique de $\R^{3}$ par les matrices suivantes : $$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$ $$B=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$C=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$
- Déterminer, fonction du réel $\theta$ les valeurs propres et les sous-espaces propres de $u\in\mathcal{L}(\R^{2})$ défini par : $$u\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} \cos(\theta) \\ \sin(\theta) \end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad u\left(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} -\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{pmatrix}$$ Même question dans le cas où $u\in\mathcal{L}(\C^{2})$.
Lien avec les polynômes annulateurs
<html><a name=“polynome_et_valeur_propre”></a></html>
On suppose que $E$ est de dimension finie ou infinie.
Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. On suppose que $\lambda\in\mathrm{Sp}(u)$ et que $\vv{x}\in E_{\lambda}(u)$.
- Pour tout entier $k\in\N$, on a : $u^{k}(\vv{x})=\lambda^{k}\cdot\vv{x}$.
- En conséquence : $\forall Q\in\K[X],\; Q(u)(\vv{x})=Q(\lambda)\cdot\vv{x}$.
<html><a name=“racine_polynome_annulateur_et_valeur_propre”></a></html>
On suppose que $E$ est de dimension finie.
Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. Soit $Q$ un polynôme annulateur de $u$.
- Les valeurs propres de $u$ sont parmi les racines de $Q$, c'est à dire que : $$\lambda\in\mathrm{Sp}(u)\;\implies\; Q(\lambda)=0$$ Attention toutefois, la réciproque est fausse.
- L'endomorphisme $u$ admet un nombre fini de valeurs propres.
Exemples
- Quelles sont les valeurs propres possibles d'un projecteur ? Peut-on toujours trouver un vecteur propre associé ?
- Quelles sont les valeurs propres possibles d'une symétrie ? Peut-on toujours trouver un vecteur propre associé ?
- Soit $u\in\mathcal{L}(\C^{n})$, $Q\in\C[X]$ et $\alpha\in\C$ tels que $\alpha$ n'est pas une valeur propre de $u$. On suppose que $P=(X-\alpha)Q$ est un polynôme annulateur de $u$. Montrer que $Q$ est un polynôme annulateur de $u$.
À propos des sous-espaces propres
<html><a name=“proprietes_sous_espaces_propres”></a></html>
Théorème : Propriétés des sous-espaces propres
On suppose que $E$ est de dimension finie.
Soit $u\in\mathcal{L}(E)$.
- Tout sous-espace propre de $u$ est stable par $u$.
- Les sous-espaces propres de $u$ sont en somme directe.
- L'endomorphisme $u$ possède un nombre fini de sous-espaces propres. Plus précisément : $\mathrm{Card}(\mathrm{Sp}(u))\leqslant\dim(E)$.
Exemples
- Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres d'un projecteur puis d'une symétrie.
- Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres d'un endomorphisme de rang 1.
Remarques
- Une concaténation de familles libres issues de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes est encore une famille libre de $E$.
- En particulier, une famille de vecteurs constituée de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est une famille libre de $E$.
Que peut-on dire alors lorsque l'endomorphisme admet $n=\dim(E)$ valeurs propres distinctes ?