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Lois discrètes usuelles

Définition : Lois discrètes finies usuelles

Loi uniforme : Soit $(a,b)\in\Z^{2}$ tel que $a\leqslant b$. $X\hookrightarrow\mathcal{U}(\llbracket a,b\rrbracket)$ si et seulement si : $$\ds X(\Omega)=\llbracket a,b\rrbracket\qquad\text{et}\qquad\forall k\in X(\Omega),\;\mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{b-a+1}$$
Loi de Bernoulli : Soit $p\in\left]0,1\right[$. $X\hookrightarrow\mathcal{B}(1,p)$ si et seulement si : $$\ds X(\Omega)=\llbracket0,1\rrbracket\qquad\text{et}\qquad\mathbb{P}(X=0)=1-p\quad\mathbb{P}(X=1)=p$$
Loi binomiale : Soit $n\in\N^{*}$ et $p\in\left]0,1\right[$. $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$ si et seulement si : $$\ds X(\Omega)=\llbracket0,n\rrbracket\qquad\text{et}\qquad\ds\forall k\in X(\Omega),\;\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$$
[HP] Loi hypergéométrique : Soit $(n,N)\in\N^{*2}$ tel que $n\leqslant N$ et soit $p\in\left]0,1\right[$ tel que $Np\in\N$. $X\hookrightarrow\mathcal{H}(N,n,p)$ si et seulement si : $$\ds X(\Omega)=\llbracket\max\{0,n-N(1-p)\},\min\{n,Np\}\rrbracket\qquad\text{et}\qquad\forall k\in X(\Omega),\;\mathbb{P}(X=k)=\frac{\ds\binom{Np}{k}\binom{N-Np}{n-k}}{\ds\binom{N}{n}}$$

Remarques
On utilise ces différentes lois dans les cas suivant :

Loi uniforme $\mathcal{U}(\llbracket a,b\rrbracket)$ : un tirage aléatoire dont tous les résultats possibles $\{a,a+1,\dots,b\}$ sont équiprobables, la variable aléatoire prenant la valeur du résultat obtenu.
Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ : $n$ tirages successifs indépendants (avec remise par exemple) à deux issues possibles (ou bien une issue observée et plusieurs autres mutualisées) et on compte le nombre d'occurrences au cours des $n$ tirages de l'un des résultats, celui (ou l'un de ceux) dont la probabilité est $p$. La loi de Bernoulli en est un cas particulier ($n=1$).
Loi hypergéométrique $\mathcal{H}(N,n,p)$ : $n$ tirages successifs non indépendants (sans remise ou bien simultanés par exemple) parmi $N$ objets de deux natures différentes et on compte le nombre d'occurrences au cours des $n$ tirages de l'un des résultats, celui dont la proportion initiale vaut $p$.

Théorème : Espérance et variance

Si $X\hookrightarrow\mathcal{U}(\llbracket1,n\rrbracket)$ alors :
$$\ds\mathbb{E}(X)=\frac{n+1}{2}\qquad\text{et}\qquad\mathbb{V}(X)=\frac{n^{2}-1}{12}$$
Si $X\hookrightarrow\mathcal{B}(1,p)$ alors :
$$\mathbb{E}(X)=p\qquad\text{et}\qquad\mathbb{V}(X)=p(1-p)$$
Si $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$ alors :
$$\mathbb{E}(X)=np\qquad\text{et}\qquad\mathbb{V}(X)=np(1-p)$$
Si $X\hookrightarrow\mathcal{H}(N,n,p)$ alors :
$$\ds\mathbb{E}(X)=np\qquad\text{et}\qquad\mathbb{V}(X)=np(1-p)\frac{N-n}{N-1}$$

Exemples

Soit $(a,b)\in\Z^{2}$ tel que $a\leqslant b$. Soit $U\hookrightarrow\mathcal{U}(\llbracket a,b\rrbracket)$. Calculer $\mathbb{E}(U)$ et $\mathbb{V}(U)$.
Une urne contient $n$ jetons blancs et $2n$ jetons noirs. On tire successivement et sans remise tous les jetons.
1. Quelle est la probabilité $p_{n}$ que les $n$ derniers jetons tirés soient noirs ?
2. On admet que : $\ds n!\underset{n\to+\infty}{\sim}\left(\frac{n}{\mathrm{e}}\right)^{n}\sqrt{2\pi n}$. Calculer $\ds\lim_{n\to+\infty}p_{n}$.

Définition : Lois discrètes infinies usuelles

Loi géométrique : Soit $p\in\left]0,1\right[$. $X\hookrightarrow\mathcal{G}(p)$ si et seulement si : $$X(\Omega)=\N^{*}\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\N^{*},\;\mathbb{P}(X=n)=p(1-p)^{n-1}$$
Loi de Poisson : Soit $\lambda\in\left]0,+\infty\right[$. $X\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda)$ si et seulement si : $$X(\Omega)=\N\qquad\text{et}\qquad\ds\forall n\in\N,\;\mathbb{P}(X=n)=\mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda^{n}}{n!}$$

Remarques

La loi de Poisson ne correspond à aucun modèle concret, c'est une loi limite (voir quelques chapitres plus loin)
La loi géométrique correspond au rang du premier succès lors d'une succession infinie d'une même épreuve de Bernoulli.

Théorème : Espérance et variance

Si $X\hookrightarrow\mathcal{G}(p)$ alors $X$ admet une variance (donc une espérance) et on a : $$\ds\mathbb{E}(X)=\frac{1}{p}\qquad\text{et}\qquad\ds\mathbb{V}(X)=\frac{1-p}{p^{2}}$$
Si $X\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda)$ alors $X$ admet variance (donc une espérance) et on a : $$\mathbb{E}(X)=\lambda\qquad\text{et}\qquad\mathbb{V}(X)=\lambda$$

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