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Familles de vecteurs

Définition

Soit $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)$ une famille de vecteurs de $E$.

Cette famille est dite libre dans $E$ (ou linéairement indépendante) si et seulement si :
$$\ds\forall(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n},\quad\big[\lambda_{1}\vv{x_1}+\dots+\lambda_{n}\vv{x_n}=\vv{0_E}\quad\implies\quad\lambda_{1}=\dots=\lambda_{n}=0\big]$$ Dans le cas contraire, la famille est dite liée.
Cette famille est dite génératrice de $E$ si et seulement si :
$$\ds E=\mathrm{Vect}\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)$$ c'est à dire si et seulement si :
$$\ds\forall\vv{x}\in E,\;\exists(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n}\;/\;\vv{x}=\lambda_{1}\vv{x_1}+\dots+\lambda_{n}\vv{x_n}$$
Cette famille est appelée base de $E$ si et seulement si elle est libre et génératrice de $E$, c'est à dire que :
$$\ds\forall\vv{x}\in E,\;\exists!(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in\K^{n}\;/\;\vv{x}=\lambda_{1}\vv{x_1}+\dots+\lambda_{n}\vv{x_n}$$ La famille de scalaires $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})$ est alors appelée famille de coordonnées du vecteur $\vv{x}$ dans la base $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)$.

Théorème

On suppose que $E$, non réduit au vecteur nul, admet une famille génératrice. On peut alors extraire de cette famille une base. De plus, toutes les bases de $E$ ont alors le même cardinal.

Définitions

Si $E=\{\vv{0_E}\}$ alors $E$ n'admet pas de base et on convient que $\dim(E)=0$.
Si $E\neq\{\vv{0_E}\}$ et si $E$ admet une famille génératrice (finie) alors on appelle dimension de $E$ et on note $\dim(E)$ le cardinal commun à toute base
On appelle rang d'une famille de vecteurs la dimension du sous-espace vectoriel qu'elle engendre.
Code Scilab :
```
rank([x1,x2,...])
```

// extraction d'une famille libre à partir d'une famille génératrice
// on enlève un vecteur (par la droite) tant que la famille est liée
A=[1,5,9,13,17;2,6,10,14,18;3,7,11,15,19;4,8,12,16,20]
[n,p]=size(A)
base=A ; r=p
while r>rank(A)
    [X0,solu]=linsolve(base,zeros(n,1))
    Y=solu(:,1) ; k=max(find(Y<>0))
    base=base(:,[1:k-1,k+1:r]) ; r=r-1
end
disp(base)

// construction d'une famille libre à partir d'une famille génératrice
// de gauche à droite, on élimine les vecteurs liés aux précédents
A=[1,5,9,13,17;2,6,10,14,18;3,7,11,15,19;4,8,12,16,20]
[n,p]=size(A)
base=[]
for j=1:p
    famille=[base,A(:,j)]
    if rank(famille)>rank(base)
        base=famille
    end
end
disp(base)

Remarques

Si $E$ est de dimension finie alors toute famille libre comporte moins de vecteurs que chaque famille génératrice.
Si $E$ est de dimension $n$, toute famille génératrice de $n$ vecteurs est une base de $E$ et toute famille libre de $n$ vecteurs est une base de $E$.

Exemples

1. Montrer que $\ds H=\left\{ (a_{i,j})\in\mathcal{M}_n(\K)\;\mid\; a_{1,1}+a_{2,2}+\dots+a_{n,n}=0\right\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\K)$.
2. Déterminer une base de $H$ et en déduire la dimension de $H$.
Montrer qu'une famille de polynômes de $\K_n[X]$ de degré deux à deux distincts est une famille libre.
Soit $n\in\N^{*}$. Soit $(a_{0},a_{1},\dots,a_{n})\in\K^{n+1}$ une famille de scalaires deux à deux distincts. On pose :
$$\ds\forall k\in[\![0,n]\!],\;L_{k}=\prod_{i\in[\![0,n]\!]\setminus\left\{ k\right\} }\left(\frac{X-a_{i}}{a_{k}-a_{i}}\right)$$
1. Calculer $L_{k}(a_{j})$ pour tout couple $(k,j)\in[\![0,n]\!]^{2}$.
2. En déduire que $(L_{0},L_{1},\dots,L_{n})$ est une base de $\K_{n}[X]$.
3. Déterminer les coordonnées de $P\in\K_{n}[X]$ dans cette base.

Théorème : Théorème de la base incomplète

On suppose que $E$ est de dimension finie $n\geqslant2$. Toute famille libre dans $E$ peut être complétée en une base de $E$. Autrement dit, pour tout $p\in[\![1,n-1]\!]$ et toute famille libre $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p}\right)$ de vecteurs de $E$, il existe une famille $\left(\vv{x_{p+1}},\dots,\vv{x_n}\right)$ de vecteurs de $E$ telle que $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)$ est une base de $E$.

Théorème : Dimension d'un sous-espace

On suppose que $E$ est de dimension finie. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors :

$F$ est de dimension finie et : $0\leqslant\dim(F)\leqslant\dim(E)$,
$F=\left\{ \vv{0_E}\right\}$ si et seulement si $\dim(F)=0$,
$F=E$ si et seulement si $\dim(F)=\dim(E)$,
Soit $G$ un autre sous-espace vectoriel de $E$. Alors, $F=G$ si et seulement si $F\subset G$ et $\dim(F)=\dim(G)$.

Exemple
On considère les ensembles $P=\left\{ \left.\begin{pmatrix}x\\ y\\ z \end{pmatrix}\in\R^{3}\right|\, x-2y+z=0\right\}$ et $F=\mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}\right)$.

Justifier que $P$ est un sous-espace vectoriel de $\R^{3}$ dont on donnera une base.
Montrer que $P=F$.

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