On considère la famille de lois $\mathcal{U}([a,b])$ dont le paramètre $\theta=(a,b)\in\R^{2}$ est inconnu. On souhaiterait obtenir une estimation de l'étendue $b-a$ de l'intervalle $[a,b]$. Pour cela, on considère un échantillon $(X_{1},\dots,X_{n})$ mutuellement indépendant et identiquement distribué selon la loi $\mathcal{U}([a,b])$ dont on possède une observation $(X_{1}(\omega),\dots,X_{n}(\omega))$. On pose alors :
$$\ds E_{n}(\omega)=\sup\{X_{1}(\omega),\dots,X_{n}(\omega)\}-\inf\{X_{1}(\omega),\dots,X_{n}(\omega)\}$$Ce réel est appelé étendue empirique. On va alors justifier que la suite de variables aléatoires $(E_{n})_{n\geqslant1}$ est un estimateur de $b-a$.

1. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire $S_{n}=\sup(X_{1},\dots,X_{n})$ puis calculer son espérance $\mathbb{E}(S_{n})$.
2. Calculer, de même, l'espérance $\mathbb{E}(I_{n})$ de la variable aléatoire $I_{n}=\inf(X_{1},\dots,X_{n})$.
3. En déduire que :
   $\ds\lim_{n\to+\infty}{\mathbb{E}(E_{n})}=b-a$.
   On dit alors que $(E_{n})_{n\geqslant1}$ est un estimateur asymptotiquement sans biais de $b-a$.
4. On pose : $\ds\forall n\geqslant2,\;E_{n}'=\frac{n+1}{n-1}E_{n}$. Justifier que la suite $(E_{n}')_{n\geqslant2}$ est un estimateur sans biais de $b-a$.

Simulation

On choisit les réels $a$ et $b$ au hasard dans, respectivement, $[0,1[$ et $[1,2[$. Ainsi, $b-a>0$. On détermine ensuite un 2000-échantillon de la loi $\mathcal{U}([a,b])$ puis on calcule l'étendue empirique (biaisée), l'étendue empirique corrigée (sans biais) et on affiche ensuite l'étendue réelle $b-a$.

n=2000 ; a=rand() ; b=1+rand()
Xn=grand(1,n,"unf",a,b)
Ee=max(Xn)-min(Xn) ; Eesb=Ee*(n+1)/(n-1) ; Er=b-a
disp("Etendue estimee : ") ; disp(Ee)
disp("Etendue estimee sans biais : ") ; disp(Eesb)
disp("Etendue reelle : ") ; disp(Er)