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Espace probabilisé

Définitions : Rappels de vocabulaire

Expérience aléatoire : expérience dont on connaît éventuellement l'ensemble des résultats possibles, appelé univers et noté $\Omega$, mais dont on ne peut prédire le résultat final, appelé éventualité.
Événement : ensemble d'éventualités; il est qualifié d'impossible (resp. élémentaire, certain) lorsqu'il ne contient aucune (resp. une seule, toutes les) éventualité(s).
L'ensemble des événements est une tribu, notée souvent $\mathcal{A}$, de parties de l'univers. Lorsque l'univers est fini, on a : $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$.
Deux événements sont dits incompatibles lorsqu'ils ne contiennent aucune éventualité commune ; ils sont dits contraires lorsqu'ils sont incompatibles et de réunion égale à l'univers.
Une famille d'événements est appelée système complet d'événements lorsque ces événements sont deux à deux incompatibles et de réunion égale à l'univers :
- Famille finie $(A_{i})_{1\leqslant i\leqslant n}$ :
  $$\forall(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^{2},\; i\ne j\;\implies\; A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$$ $$\ds\Omega=\bigcup_{i=1}^{n}{A_{i}}$$
- Famille infinie $(A_{i})_{i\in\N}$ :
  $$\forall(i,j)\in\N^{2},\; i\ne j\;\implies\; A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$$ $$\ds\Omega=\bigcup_{i=0}^{+\infty}{A_{i}}$$ On convient, en général, que tous les événements de la familles sont non vide.
Le couple $(\Omega,\mathcal{A})$ est appelé espace probabilisable.
On appelle probabilité toute application $\mathbb{P}\colon\mathcal{A}\to[0,1]$ telle que :
- si $\Omega$ est fini : $\mathbb{P}(\Omega)=1$ et
  $$\forall(A,B)\in\mathcal{A}^{2},\; A\cap B=\varnothing\;\implies\;\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)$$
- si $\Omega$ est infini : $\mathbb{P}(\Omega)=1$ et, pour toute famille $(A_{n})_{n\in\N}$ d'événements deux à deux incompatibles
  $$\ds\mathbb{P}\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty}{A_{n}}\right)=\sum_{n=0}^{+\infty}{\mathbb{P}(A_{n})}$$(relation dite de $\sigma$-additivité).
Le triplet $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ est alors appelé espace probabilisé.
Dans le cas où $\Omega$ est infini :
- Un événement $A\ne\Omega$ de probabilité 1 est dit certain presque sûrement (ou presque certain).
- Un événement $A\ne\varnothing$ de probabilité 0 est dit impossible presque sûrement (ou presque impossible).
Une proposition est dite vraie presque sûrement si et seulement si sa probabilité d'être vraie est égale à 1.
Une famille $(A_{n})_{n\in\N}$ d'événements est appelée système presque complet lorsque :
$$\forall(i,j)\in\N^{2},\; i\ne j\;\implies\; A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$$$$\ds\bigcup_{n=0}^{+\infty}{A_{n}}\ne\Omega$$$$\ds\mathbb{P}\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty}{A_{n}}\right)=1$$Autrement dit, l'événement $\ds\Omega\setminus\bigcup_{n=0}^{+\infty}{A_{n}}$ est impossible presque sûrement.
Modéliser une expérience aléatoire c'est choisir un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$.

Remarques

Lorsque $\Omega$ est fini, on dit que $\mathbb{P}$ est l'équiprobabilité si et seulement si tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
Lorsque $\Omega$ est infini, il ne peut pas y avoir d'équiprobabilité (tous les événements élémentaires seraient de probabilité nulle et la somme de toutes leurs probabilités ne serait pas égale à 1).

Exemples

1. On choisit au hasard une matrice carrée d'ordre 2 à coefficients dans $\llbracket0,1\rrbracket$. Quelle est la probabilité qu'elle soit inversible ?
2. Même question mais le 0 apparaît avec la probabilité $\ds\frac{1}{3}$ et le 1 avec la probabilité $\frac{2}{3}$.
On considère deux joueurs A et B. Le joueur A possède initialement 4€ et le joueur B seulement 2€. Ils «s'affrontent» jusqu'à la ruine de l'un ou pendant au plus 5 parties de pile ou face. Le côté pile a une probabilité de $\ds\frac{1}{4}$ d'apparaître et permet au joueur A de récupérer 1€ de la cagnotte de B, le côté face a une probabilité de $\ds\frac{3}{4}$ d'apparaître et permet au joueur B de récupérer 1€ de la cagnotte de A. Quelle est la probabilité que le joueur A gagne (c'est à dire qu'il possède strictement plus d'argent que B) ?

Théorème : Propriétés d'une application probabilité

Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé (fini ou infini). On a :

$\forall A\in\mathcal{A},\;\mathbb{P}\left(\bar{A}\right)=1-\mathbb{P}(A)$
$\forall(A,B)\in\mathcal{A}^{2},\;\mathbb{P}(A\setminus B)=\mathbb{P}(A)-\mathbb{P}(A\cap B)$
$\forall(A,B)\in\mathcal{A}^{2},\; A\subset B\;\implies\;\mathbb{P}(A)\leqslant\mathbb{P}(B)\text{ et }\mathbb{P}(B\setminus A)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A)$ (on dit que $\mathbb{P}$ est une application croissante sur $\mathcal{A}$ pour l'inclusion)
$\forall(A,B)\in\mathcal{A}^{2},\;\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$
extension de cette relation à trois événements $A,B,C$ (formule du crible de Poincaré) :
$$\mathbb{P}(A\cup B\cup C)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(C)-\mathbb{P}(A\cap B)-\mathbb{P}(A\cap C)-\mathbb{P}(B\cap C)+\mathbb{P}(A\cap B\cap C)$$
si $(A_{1},\dots,A_{n})$ est une famille d'événements deux à deux incompatibles :
$$\ds\mathbb{P}(A_{1}\cup\dots\cup A_{n})=\mathbb{P}(A_{1})+\dots+\mathbb{P}(A_{n})$$

Exemple

Soit $(A_{1},\dots,A_{n})$ une famille d'événements d'un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. Montrer que :
$$\ds\mathbb{P}(A_{1}\cup\dots\cup A_{n})=\sum_{k=1}^{n}{\left[(-1)^{k-1}\sum_{1\leqslant i_{1}<\dots<i_{k}\leqslant n}{\mathbb{P}(A_{i_{1}}\cap\dots\cap A_{i_{k}})}\right]}$$(formule du crible de Poincaré généralisée). On pourra procéder par récurrence.
Lors d'une réunion, $n$ convives déposent à la consigne d'un restaurant leur chapeau. À la sortie, les chapeaux sont remis au hasard à ces $n$ convives.
1. Donner un espace probabilisé modélisant cette expérience aléatoire.
2. Quelle est la probabilité que chaque convive obtienne son propre chapeau? qu'aucun convive n'obtienne son propre chapeau ?
3. Quelle est la probabilité qu'exactement $k$ convives (avec $k\in\llbracket0,n\rrbracket$) obtiennent son propre chapeau ? Que remarque-t-on pour $k=n-1$ ?
4. Quel est le nombre moyen de convives obtenant leur propre chapeau à la sortie ?

Théorème : Limite monotone (admis pour le 1er point)

Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé.

Si $(A_{n})_{n\in\N}$ est une suite croissante (resp. décroissante) d'éléments de $\mathcal{A}$ alors la suite $\left(\mathbb{P}(A_{n})\right)_{n\in\N}$ converge et :
$$\ds\lim_{n\to+\infty}{\mathbb{P}(A_{n}})=\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=0}^{+\infty}{A_{k}}\right)\qquad\left(\text{resp. }\lim_{n\to+\infty}{\mathbb{P}(A_{n})}=\mathbb{P}(\bigcap_{k=0}^{+\infty}{A_{k})}\right)$$
Si $(A_{n})_{n\in\N}$ est une suite quelconque d'éléments de $\mathcal{A}$ alors :
$$\ds\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=0}^{+\infty}{A_{k}}\right)=\lim_{n\to+\infty}{\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=0}^{n}{A_{k}}\right)}$$ $$\ds\mathbb{P}\left(\bigcap_{k=0}^{+\infty}{A_{k}}\right)=\lim_{n\to+\infty}{\mathbb{P}\left(\bigcap_{k=0}^{n}{A_{k}}\right)}$$

Exemple
On joue une infinité de fois à pile ou face avec une pièce dont la probabilité d'apparition de pile est $p\in\left]0,1\right[$. Calculer la probabilité de l'événement $F_{k}$ : « on obtient toujours face à partir du rang $k$ » pour tout entier $k\geqslant1$.

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