On effectue une récurrence. Soit donc $\mathcal H(n)$ la proposition : Pour tout couple $(P,Q)$ de polynômes, …

Au rang $n=0$, la proposition est vraie puisque $P^0=1$ pour tout polynôme $P$. La proposition est trivialement vraie au rang $n=1$. Soit donc un entier $n\geqslant0$ tel que la proposition $\mathcal H(n)$ est vraie. Soit $(P,Q)$ un couple de polynômes. Alors :
$$\begin{array}{rcl} (P+Q)^{n+1} & = & \ds (P+Q)\times(P+Q)^n=(P+Q)\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}P^kQ^{n-k}} \\ & = & \ds \sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}P^{k+1}Q^{n-k}}+\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}P^{k}Q^{n-k+1}} \\ & = & \ds \sum_{k=1}^{n+1}{\binom{n}{k-1}P^{k}Q^{n-(k-1)}}+\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}P^{k}Q^{n-(k-1)}} \\ & = & \ds \binom{n}{0}P^0Q^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}{\left(\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\right)P^{k}Q^{n+1-k)}}+\binom{n}{n}P^{n+1}Q^{0} \\ & = & \ds \binom{n+1}{0}P^0Q^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}{\binom{n+1}{k}P^{k}Q^{n+1-k}}+\binom{n+1}{n+1}P^{n+1}Q^{0} \\ & = & \ds \sum_{k=0}^{n+1}{\binom{n+1}{k}P^{k}Q^{n+1-k}} \end{array}$$donc la proposition $\mathcal H(n+1)$ est vraie.