Soit $\mathcal H(n)$ la proposition : pour tout couple $(P,Q)$ de polynômes …

Au rang $n=0$, les deux membres sont égaux à $PQ$ pour tout couple $(P,Q)$ de polynômes. Au rang $n=1$, il s'agit d'effectuer les calculs des coefficients des deux membres et de constater leur égalité (calculs pénibles !). Soit maintenant $n\geqslant0$ tel que la proposition $\mathcal H(n)$ est vraie. Soit $(P,Q)$ un couple de polynômes. On a alors :

$$\begin{array}{rcl} (PQ)^{(n+1)} & = & \ds \left((PQ)^{(n)}\right)' = \left(\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}P^{(k)}Q^{(n-k)}}\right)' \\ & = & \ds \sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}P^{(k+1)}Q^{(n-k)}}+\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}P^{(k)}Q^{(n+1-k)}} \\ & = & \ds \sum_{k=1}^{n+1}{\binom{n}{k-1}P^{(k)}Q^{(n+1-k)}}+\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}P^{(k)}Q^{(n+1-k)}} \\ & = & \ds \binom{n}{0}P^{(0)}Q^{(n+1)}+\sum_{k=1}^{n}{\left(\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\right)P^{(k)}Q^{(n+1-k)}}+\binom{n}{n}P^{(n+1)}Q^{(0)} \\ & = & \ds \binom{n+1}{0}P^{(0)}Q^{(n+1)}+\sum_{k=1}^{n}{\binom{n+1}{k}P^{(k)}Q^{(n+1-k)}}+\binom{n+1}{n+1}P^{(n+1)}Q^{(0)} \\ & = & \ds \sum_{k=0}^{n+1}{\binom{n+1}{k}P^{(k)}Q^{(n+1-k)}} \end{array}$$ d'où la véracité de la proposition $\mathcal H(n+1)$.

• Soit $\alpha$ un scalaire et $P=\ds\sum_{k=0}^{n}{a_kX^k}$ un polynôme de degré $n\geqslant0$ (donc $a_n\ne0$). Pour tout entier $i\in[\![0,n]\!]$, on a :
  $$\ds P^{(i)}(\alpha)=\sum_{k=i}^{n}{\frac{k!}{(k-i)!}a_k\alpha^{k-i}}$$(en utilisant, par exemple, le résultat de l'exemple à retenir). Alors, par utilisation de la formule du binôme, on a :
  $$\begin{array}{rcl} P & = & \ds \sum_{k=0}^{n}{a_kX^k} = \sum_{k=0}^{n}{a_k((X-\alpha)+\alpha)^k} \\ & = & \ds \sum_{k=0}^{n}{\left[a_k\sum_{i=0}^{k}{\binom{k}{i}(X-\alpha)^i\alpha^{k-i}}\right]} \\ & = & \ds \sum_{i=0}^{n}{\left[\sum_{k=i}^{n}{\binom{k}{i}a_k\alpha^{k-i}}\right](X-\alpha)^i} \\ & = & \ds \sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{i!}\left[\sum_{k=i}^{n}{\frac{k!}{(k-i)!}a_k\alpha^{k-i}}\right](X-\alpha)^i} \\ & = & \ds \sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{i!}P^{(i)}(\alpha)(X-\alpha)^i} \end{array}$$
• On choisit $\alpha=0$ et on identifie les coefficients.
• La formule prouve le fait que la famille est génératrice. Pour des raisons de dimension, elle est aussi libre donc on a bien une base.