Soit $\varepsilon>0$.

• Si $\sup(A)\in A$ alors $x=\sup(A)$ convient.
• Supposons maintenant que $\sup(A)\not\in A$. Si $\sup(A)-x>\varepsilon$ pour tout $x\in A$ alors $\sup(A)-\varepsilon$ est un majorant de $A$ strictement inférieur à $\sup(A)$ ce qui est absurde. Ainsi :
  $$\ds\exists x\in A\;/\;\varepsilon\geqslant\sup(A)-x=|x-\sup(A)|$$