Construction d'un candidat $\ell$ pour la borne supérieure.
Soit $\mathcal{H}(n)$ la proposition :
$$\ds\exists(x_{0},\dots,x_{n},y_{0},\dots,y_{n})\in\R^{2n+2}\;/\;\left\{ \begin{array}{l}x_{0}\leqslant\dots\leqslant x_{n}\leqslant y_{n}\leqslant\dots\leqslant y_{0} \\ \ds y_{n}-x_{n}=\frac{y_{0}-x_{0}}{2^{n}} \end{array}\right.$$Comme $A$ est non vide, choisissons $x_{0}\in A$. Comme $A$ est majorée, choisissons un majorant $y_{0}$ de $A$. Alors :
$$\ds x_{0}\leqslant y_{0}\qquad\text{et}\qquad y_{0}-x_{0}=\frac{y_{0}-x_{0}}{2^{0}}$$donc la proposition $\mathcal{H}(0)$ est vraie.
Soit $n\in\N$. Supposons que la proposition $\mathcal{H}(n)$ est vraie. Si $\ds\frac{x_{n}+y_{n}}{2}$ est un majorant de $A$ alors on pose $x_{n+1}=x_{n}$ et $\ds y_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}{2}$, sinon on pose $\ds x_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}{2}$ et $y_{n+1}=y_{n}$. Comme $\ds x_{n}\leqslant\frac{x_{n}+y_{n}}{2}\leqslant y_{n}$ alors, dans les deux cas, on a :
$$\ds x_{0}\leqslant\dots\leqslant x_{n}\leqslant x_{n+1}\leqslant y_{n+1}\leqslant y_{n}\leqslant\dots\leqslant y_{0}$$De plus, dans les deux cas :
$$\ds y_{n+1}-x_{n+1}=\frac{y_{n}-x_{n}}{2}=\frac{y_{0}-x_{0}}{2^{n+1}}$$ ce qui prouve la proposition $\mathcal{H}(n+1)$.
La proposition $\mathcal{H}(n)$ est donc vraie pour tout entier naturel $n$. De plus, les deux suites construites sont adjacentes donc convergentes vers la même limite $\ell$.