Soit $N\hookrightarrow\mathcal{N}(0,1)$.

Soit $(P_{k})_{k\geqslant1}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la loi de Poisson $\mathcal{P}(1)$. On pose :
$$\ds\forall n\geqslant1,\;S_{n}=P_{1}+\dots+P_{n}\qquad\text{et}\qquad\bar{X}_n=\frac{1}{n}S_n$$Alors, par théorème de stabilité par somme indépendante, on a :
$$\ds S_{n}\hookrightarrow\mathcal{P}(n)$$

De plus, comme $\mathbb{E}(P_{1})=1$ et $\mathbb{V}(P_{1})=1$, on déduit du TLC que :
$$\ds \bar{X}_{n}^{*}=\sqrt{n}\frac{\bar{X}_{n}-1}{\sqrt{1}}\xrightarrow{\mathcal{L}}N$$