Dans ce paragraphe, $E$ est un espace vectoriel de dimension $n$ (avec $n\geqslant1$).
Définition
On appelle matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$ la matrice $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ de $\mathcal{M}_n(\K)$ dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}'$ exprimées dans la base $\mathcal{B}$.
Exemple
On considère la base canonique $\mathcal{B}=(1,X,X^{2})$ de $\R_{2}[X]$. Soit $(a,b)$ un couple de réels distincts. On considère les familles de polynômes $\mathcal{B}'=\left(1,X-a,(X-a)^{2}\right)$ et $\mathcal{B}''=\left((X-a)^{2},(X-a)(X-b),(X-b)^{2}\right)$.
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Théorème : Propriétés des matrices de passage
Soit $\mathcal{B},\mathcal{B}',\mathcal{B}''$ trois bases de $E$.
Remarque
Toute matrice inversible est une matrice de passage entre deux bases.
Exemples