Pour tout vecteur $\vv{x}\in E$, on note $\vv{x_1}+\vv{x_2}$ sa décomposition dans $F\oplus G$. On a : $$p(\lambda \vv{x}+\mu \vv{y})=p(\lambda \vv*{x_1}+\mu \vv{y_1}+\lambda \vv{x_2}+\mu \vv{y_2})=\lambda \vv{x_1}+\mu \vv{y_1}=\lambda p(\vv{x})+\mu p(\vv{y})$$ donc $p\in\mathcal L(E)$.
Soit $\vv{x}\in\text{Ker}(p)$. Alors : $$\vv{0_E}=p(\vv{x})=\vv{x_1}$$ donc $\vv{x}=\vv{x_2}\in G$. Réciproquement, si $\vv{x}\in G$ alors $\vv{x}=\vv{0_E}+\vv{x_2}$ et donc $p(\vv{x})=\vv{0_E}$ c'est-à-dire que $\vv{x}\in\text{Ker}(p)$. On en conclut que $\text{Ker}(p)=G$.
Soit $\vv{y}\in\text{Im}(p)$. Alors : $$\vv{y}=p(\vv{x})=\vv{x_1}\in F$$ Réciproquement, si $\vv{y}\in F$ alors $\vv{y}=p(\vv{y}+\vv{0_E})=p(\vv{y})\in\text{Im}(p)$. On en conclut que $\text{Im}(p)=F$.