Preuve : projecteur symétrique

On pose : $F=\mathrm{Im}(p)$ et $G=\mathrm{Ker}(p)$. On sait que $E=F\oplus G$.

• $\boxed{\implies}$ : On suppose que $p$ est un endomorphisme symétrique. On montre que $F\perp G$. Soit $\vv{x}\in F$ et $\vv{y}\in G$. On sait que : $\vv{x}=p(\vv{x})$ et $\vv{0_E}=p(\vv{y})$. Alors : $$\ds\left\langle \vv{x},\vv{y}\right\rangle =\left\langle p(\vv{x}),\vv{y}\right\rangle =\left\langle \vv{x},p(\vv{y})\right\rangle =\left\langle \vv{x},\vv{0_E}\right\rangle =0$$
• $\boxed{\impliedby}$ : On suppose que $p$ est un projecteur orthogonal (donc $F\perp G$). On montre que $p$ est un endomorphisme symétrique. Soit $\vv{x}=\vv{x_F}+\vv{x_G}\in E$ et $\vv{y}=\vv{y_F}+\vv{y_G}\in E$ (décompositions dans la somme directe orthogonale $F\oplus G$). On a : $$\ds\left\langle p(\vv{x}),\vv{y}\right\rangle =\left\langle \vv{x_F},\vv{y_F}+\vv{y_G}\right\rangle =\left\langle \vv{x_F},\vv{y_F}\right\rangle + \underset{=0}{\underbrace{\left\langle \vv{x_F},\vv{y_G}\right\rangle}}$$ $$\ds\left\langle \vv{x},p(\vv{y})\right\rangle =\left\langle \vv{x_F}+\vv{x_G},\vv{y_F}\right\rangle = \left\langle \vv{x_F},\vv{y_F}\right\rangle + \underset{=0}{\underbrace{\left\langle \vv{x_G},\vv{y_F}\right\rangle}} $$