Si le système homogène admet une solution $X$ alors, par linéarité, $\lambda X$ est aussi une solution pour tout réel $\lambda$.
Si $X$ et $Y$ sont deux solutions du système homogène alors, par linéarité, $X+Y$ est aussi une solution du système. Il y a donc bien soit aucune solution, soit une infinité de solutions au système linéaire homogène et l'ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de $\R^p$.
Supposons que $X_0$ est une solution du système avec second membre. Si $X$ est une autre solution alors :
$$A(X-X_0)=AX-AX_0=B-B=\Theta$$donc $X-X_0$ est une solution du système homogène.
Si $Y$ est une solution du système homogène. On pose : $X=Y+X_0$. Alors :
$$AX=A(Y+X_0)=AY+AX_0=\Theta+B=B$$donc $X$ est une solution du système avec second membre.
Cas 1 : Il n'existe pas de solution $X_0$ au système avec second membre.
Cas 2 : S'il existe une solution $X_0$ au système avec second membre alors, selon que le système homogène admet 0 ou une infinité de solution, alors le système avec second membre admet une seule solution ou bien une infinité.