Soit $F$ une primitive de $f$ sur $[a,b]$.
On a :
$$\ds\int_{\alpha}^{\beta}{f(u(t))u'(t)\mathrm{d}t}=\big[(F\circ u)(t)\big]_{\alpha}^{\beta}=F(u(\beta))-F(u(\alpha))=\big[F(x)\big]_{u(\alpha)}^{u(\beta)}=\int_{u(\alpha)}^{u(\beta)}{f(x)\mathrm{d}x}$$
Même principe pour la seconde égalité en partant de la droite avec $\alpha=u^{-1}(a)$ et $\beta=u^{-1}(b)$.