Soit $\mathcal H(n)$ la proposition :
$$\ds\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$On vérifie aisément l'égalité des deux membres dans le cas où $n=1$. Soit donc $n$ un entier naturel non nul tel que la proposition $\mathcal P(n)$ est vraie. Alors :
$$\begin{array}{rcl} \ds \sum_{k=1}^{n+1}{k^2} & = & \ds (n+1)^2 + \sum_{k=1}^{n}{k^2} \\ & = & \ds (n+1)^2 + \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ & = & (n+1) \dfrac{(6n+6)+(2n^2+n)}{6} \\ & = & \dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6} \\ & = & \ds \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \\ & = & \dfrac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} \end{array}$$donc la proposition $\mathcal H(n+1)$ est vraie.