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Somme et somme directe de sous-espaces vectoriels

Définition

Soit $(F_{1},\dots,F_{p})$ une famille de sous-espaces vectoriels de $E$.

  • On appelle somme des sous-espaces $F_{1},\dots,F_{p}$, le sous-ensemble de $E$ :
    $$\ds F_{1}+\dots+F_{p}=\left\{ \vv{x}\in E\left|\;\exists\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p}\right)\in F_{1}\times\dots\times F_{p}\;/\;\vv{x}=\vv{x_1}+\dots+\vv{x_p}\right.\right\}$$ Autrement dit, tout vecteur de la somme se « décompose » en la somme (pas nécessairement unique) de vecteurs dont chacun est dans l'un des sous-espaces.
  • La somme $F_{1}+\dots+F_{p}$ est dite directe si et seulement si :
    $$\ds\forall\vv{x}\in F_{1}+\dots+F_{p},\;\exists!\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p}\right)\in F_{1}\times\dots\times F_{p}\;/\;\vv{x}=\vv{x_1}+\dots+\vv{x_p}$$et on note alors cette somme $F_{1}\oplus\dots\oplus F_{p}$. Autrement dit, pour tout vecteur de la somme, la « décomposition » est unique.
  • Les sous-espaces $F_{1}$ et $F_{2}$ sont dits supplémentaires si et seulement si :
    $$\ds E=F_{1}\oplus F_{2}$$

Exemples

  1. Soit $E=F_{1}\oplus\dots\oplus F_{n}$. Donner, pour tout $i\in[\![1,n]\!]$, un supplémentaire de $F_{i}$.
  2. Dans l'espace vectoriel $E$ des suites réelles, on considère les sous-ensembles $C$ constitué des suites convergentes et $Z$ constitué des suites de limite nulle. Montrer que $C$ est un espace vectoriel, que $Z$ est un sous-espace de $C$ puis déterminer un supplémentaire de $Z$ dans $C$.
  3. Soit $A$, $B$ et $C$ trois sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$ tels que $A\cap C\subset B$, $C\subset A+B$ et $B\subset C$. Montrer que : $B=C$.

<html><a name=“reunion_et_somme_de_sous_espaces”></a></html>

Théorème : Lien avec la réunion

Soit $(F_{1},\dots,F_{p})$ une famille de sous-espaces-vectoriels de $E$. Alors, la somme $F_{1}+\dots+F_{p}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et est le plus « petit » (pour l'inclusion) sous-espace vectoriel de $E$ qui contient le sous-ensemble $F_{1}\cup\dots\cup F_{p}$.

<html><a name=“caracterisation_somme_directe”></a></html>

Théorème : Caractérisations de la somme directe

Soit $(F_{1},\dots,F_{p})$ une famille de sous-espaces vectoriels de $E$. Pour tout $i[\![1,p]\!]$, on considère une base $\mathcal{B}_{i}$ de $F_{i}$. Les propositions suivantes sont équivalentes :

  1. la somme $F_{1}+\dots+F_{p}$ est directe,
  2. pour tout $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p}\right)\in F_{1}\times\dots\times F_{p}$, si $\vv{x_1}+\dots+\vv{x_p}=\vv{0_E}$ alors $\vv{x_1}=\dots=\vv{x_p}=\vv{0_E}$,
  3. la concaténation des bases $\mathcal{B}_{1},\dots,\mathcal{B}_{p}$ est une base de $F_{1}+\dots+F_{p}$,
  4. $\dim\left(F_{1}+\dots+F_{p}\right)=\dim(F_{1})+\dots+\dim(F_{p})$.

Ce résultat s'applique, en particulier, au cas où $E=F_{1}\oplus\dots\oplus F_{p}$.
De même, tout supplémentaire de $F_{1}$ est de dimension $\dim(E)-\dim(F_{1})$.

Remarque
On rappelle que deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ sont en somme directe si et seulement si $F\cap G=\left\{ \vv{0_E}\right\}$.

Exemples

  1. Soit $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)$ une famille de vecteurs d'un espace $E$.
    1. Montrer que $\mathrm{Vect}\left(\vv{x_1}\right)+\dots+\mathrm{Vect}\left(\vv{x_n}\right)=\mathrm{Vect}\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)$.
    2. Démontrer que cette somme est directe si et seulement si la famille $\left(\vv{x_1},\dots,\vv{x_n}\right)$ est libre.
  2. Pour $k\in[\![0,n]\!]$, on pose :
    $$F_{k}=\textrm{Vect}(1+X+\dots+X^{2k},1+X+\dots+X^{2k+1})$$
    1. Montrer que la somme $F_{0}+\dots+F_{n}$ est directe dans $\R[X]$.
    2. Montrer que : $\R_{2n+1}[X]=F_{0}\oplus \dots\oplus F_{n}$.

<html><a name=“grassmann”></a></html>

Théorème : Formule de Grassmann

Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ supposé de dimension finie. Alors :
$$\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G)$$

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