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Espérance conditionnelle

Théorème

Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé, $A$ un événement de probabilité non nulle et $X$ une variable aléatoire discrète admettant une espérance (pour $\mathbb{P}$). Alors, la variable $X$ admet une espérance pour $\mathbb{P}_{A}$, c'est à dire dans l'espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}_{A})$.

Définition

Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé, $A$ un événement de probabilité non nulle et $X$ une variable aléatoire discrète. Sous réserve d'existence, l'espérance de $X$ pour $\mathbb{P}_{A}$ est appelée espérance conditionnelle de $X$ sachant réalisé l'événement $A$ et on la note :
$$\ds\mathbb{E}(X\mid A)=\sum_{x\in X(\Omega)}{x\mathbb{P}_{A}(X=x)}$$

Exemples

  1. Un joueur dispose d'un dé cubique non truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et d'une pièce de monnaie dont la probabilité d'apparition de pile à chaque lancer est $p$ (où $p\in\left]0,1\right[$). Le joueur lance le dé puis lance la pièce autant de fois que le nombre apparu sur le dé. Soit $X$ le nombre de pile obtenus. Calculer l'espérance de $X$ sachant que le dé a donné le nombre $k$ (où $k\in\llbracket1,6\rrbracket$).
  2. Le nombre $N$ de voitures passant devant une station d’essence suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$. Chaque voiture s’arrête à la station avec une probabilité $p$, indépendamment des autres. On note $S$ le nombre de voitures s’arrêtant à la station. Donner l'espérance $\mathbb{E}(S\mid\left[N=n\right])$ pour tout entier $n\in\N$.

Théorème : Théorème de l'espérance totale

Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé, $X$ une variable aléatoire discrète et $(A_{n})_{n\in\N}$ un système complet d'événements pour lequel on note $J$ l'ensemble des entiers $n$ tels que $\mathbb{P}(A_{n})\ne0$. Ainsi, $(A_{n})_{n\in J}$ est un système quasi complet d'événements. Alors, $X$ admet une espérance si et seulement si la série (double) :
$$\ds\sum_{(x,n)\in X(\Omega)\times J}{\big(x\mathbb{P}_{A_{n}}(X=x)\mathbb{P}(A_{n})\big)}$$converge absolument (remarquer que $X(\Omega)\times J$ est fini ou dénombrable). Dans ce cas, l'espérance conditionnelle $\mathbb{E}(X\mid A_{n})$ existe pour tout $n\in J$ et on a :
$$\ds\mathbb{E}(X)=\sum_{n\in J}{\mathbb{E}(X\mid A_{n})\mathbb{P}(A_{n})}$$

Exemples

  1. Dans les deux exemples ci-dessus, calculer $\mathbb{E}(X)$ et $\mathbb{E}(S)$ s'ils existent.
  2. Soit $(A_{n})_{n\geqslant1}$ une famille d'événements deux à deux incompatibles tels que : $\ds\forall n\in\N^{*},\;\mathbb{P}(A_{n})=\frac{1}{n(n+1)}$.
    1. Vérifier que $(A_{n})_{n\geqslant1}$ est une système complet d'événements.
    2. Soit $X$ une variable aléatoire telle que, pour tout $n\in\N^{*}$, la loi conditionnelle de $X$ sachant réalisé l'événement $A_{n}$ est la loi $\mathcal{B}(n,p)$ avec $p\in\left]0,1\right[$. Vérifier que $\mathbb{E}(X\mid A_{n})$ existe pour tout $n\in\N^{*}$. La variable aléatoire $X$ admet-elle une espérance ?
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