Soit $(u_{n})_{n\geqslant p}$ et $(v_{n})_{n\geqslant p}$ deux suites réelles à termes positifs.
La suite des sommes partielles est croissante puisque $S_{n+1}-S_{n}=u_{n+1}\geqslant0$ pour tout entier $n\geqslant p$. Alors elle converge si et seulement si elle est majorée.
Notons $n_{0}\geqslant p$ un entier tel que : $\forall n\geqslant n_{0},\;u_{n}\leqslant v_{n}$. Ainsi : $$\ds\forall n\geqslant n_{0},\;\sum_{k=n_{0}}^{n}{u_{k}}\leqslant\sum_{k=n_{0}}^{n}{v_{k}}$$
Si la série $\ds\sum_{n\geqslant p}{v_{n}}$ converge alors la série $\ds\sum_{n\geqslant n_{0}}{v_{n}}$ converge aussi et sa somme $S$ est un majorant de la suite des sommes partielles de la série $\ds\sum_{n\geqslant n_{0}}{u_{n}}$. On conclut avec le point précédent que la série $\ds\sum_{n\geqslant n_{0}}{u_{n}}$ converge donc que la série $\ds\sum_{n\geqslant p}{u_{n}}$.
Si la série $\ds\sum_{n\geqslant p}{u_{n}}$ diverge alors la série $\ds\sum_{n\geqslant n_{0}}{u_{n}}$ diverge aussi donc la suite des sommes partielles de la série des $u_{n}$ n'est pas majorée et celle des $v_{n}$ non plus. On conclut avec le premier point.
Si $u_{n}\sim v_{n}$ alors il existe une suite $(\alpha_{n})$ (positive) convergente de limite $1$ et un rang $n_{0}$ tels que : $$\ds\forall n\geqslant n_{0},\;u_{n}=\alpha_{n}v_{n}$$ La limite $1$ permet d'écrire qu'il existe un rang $n_{1}\geqslant n_{0}$ tel que $\ds\frac{1}{2}\leqslant\alpha_{n}\leqslant\frac{3}{2}$ pour tout entier $n\geqslant n_{1}$. Ainsi : $$\ds\forall n\geqslant n_{1},\;\frac{1}{2}v_{n}\leqslant u_{n}\leqslant\frac{3}{2}v_{n}\qquad\text{donc}\qquad\forall n\geqslant n_{1},\;\begin{cases} u_{n}\leqslant\frac{3}{2}v_{n}\\ v_{n}\leqslant2u_{n} \end{cases}$$ On conclut alors avec le point précédent.