Soit $u$ un endomorphisme symétrique de $E$. Soit $F$ un sous-espace stable par $u$. Soit $\vv{x}\in F^{\perp}$. On montre que $u(\vv{x})\in F^{\perp}$. Soit donc $\vv{y}\in F$. Alors, $u(\vv{y})\in F$ et on a :
$$\ds\left\langle u(\vv{x}),\vv{y}\right\rangle =\left\langle \vv{x},u(\vv{y})\right\rangle =0$$