Posons : $X=\begin{pmatrix}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}$ et $X'=\begin{pmatrix}x_{1}' \\ \vdots \\ x_{n}' \end{pmatrix}$, c'est-à-dire que :
$$\ds\vv{x}=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}\vv{e_i}}=\sum_{j=1}^{n}{x_{j}'\vv{e_j}'}$$ Posons aussi : $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}=(p_{i,j})$ c'est-à-dire que :
$$\ds\forall j\in[\![1,n]\!],\;\vv{e_j}'=\sum_{i=1}^{n}{p_{i,j}\vv{e_i}}$$ Alors :
$$\begin{array}{rcl}\ds\sum_{i=1}^{n}{x_{i}\vv{e_i}} & = & \ds\sum_{j=1}^{n}{x_{j}'\vv{e_j}'} \\ & = & \ds\sum_{j=1}^{n}{x_{j}'\left(\sum_{i=1}^{n}{p_{i,j}\vv{e_i}}\right)} \\ & = & \ds\sum_{i=1}^{n}{\left(\sum_{j=1}^{n}{x_{j}'p_{i,j}}\right)\vv{e_i}} \end{array}$$ Par unicité des coordonnées dans une base donnée, ici $\mathcal{B}$, on a :
$$\ds\forall i\in[\![1,n]\!],\;x_{i}=\sum_{j=1}^{n}{p_{i,j}x_{j}'}$$ donc :
$$\boxed{X=P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}X'}$$
La première égalité est évidente.
Soit $\vv{x}$ représenté par $X,X',X''$ dans les bases respectives $\mathcal{B},\mathcal{B}',\mathcal{B}''$. On a :
$$\ds P_{\mathcal{B},\mathcal{B}''}X''=X=P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}X'=P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\left(P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}''}X''\right)=P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}''}X''$$ Ceci étant vrai pour tout $\vv{x}$ donc pour tout $X''$, on en conclut que : $\boxed{P_{\mathcal{B},\mathcal{B}''}=P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\times P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}''}}$.
En choisissant $\mathcal{B}''=\mathcal{B}$, on obtient alors :
$$\ds I_{n}=P_{\mathcal{B},\mathcal{B}}=P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\times P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$$ donc : $\boxed{P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\text{ est inversible}}$ et $\boxed{\left[P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}\right]^{-1}=P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}}$.