Soit $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{p})$ une famille de réels tels que $\lambda_{1}\vv{x_1}+\dots+\lambda_{p}\vv{x_p}=\vv{0_E}$. Soit $i\in\llbracket1,p\rrbracket$. On a alors :
$$\ds0=\left\langle \vv{0_E},\vv{x_i}\right\rangle =\left\langle \lambda_{1}\vv{x_1}+\dots+\lambda_{p}\vv{x_p},\vv{x_i}\right\rangle =\sum_{k=1}^{p}{\lambda_{k}\left\langle \vv{x_k},\vv{x_i}\right\rangle }=\lambda_{i}\left\langle \vv{x_i},\vv{x_i}\right\rangle =\lambda_{i}\|\vv{x_i}\|^{2}$$ Donc, comme $\vv{x_i}\neq\vv{0_E}$, alors $\|\vv{x_i}\|^{2}\neq0$ ce qui entraîne que $\lambda_{i}=0$.
Aucun vecteur de la famille ne peut être nul puisque chacun est de norme 1. On applique donc le résultat précédent ce qui prouve que la famille est libre.
Soit $\vv{x}\in\mathrm{Vect}(\vv{x_1},\dots,\vv{x_p})$. Alors, il existe $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{p})\in\R^{p}$ tel que $\ds\vv{x}=\sum_{i=1}^{p}{\lambda_{i}\vv{x_i}}$. Ainsi, pour tout entier $k\in\llbracket1,p\rrbracket$, on a :
$$\ds\left\langle \vv{x},\vv{x_k}\right\rangle =\left\langle \sum_{i=1}^{p}{\lambda_{i}\vv{x_i}},\vv{x_k}\right\rangle =\sum_{i=1}^{p}{\lambda_{i}\left\langle \vv{x_i},\vv{x_k}\right\rangle }=\lambda_{k}$$