Soit $\lambda$ et $\mu$ deux valeurs propres distinctes de $u$. Soit $x\in E_{\lambda}(u)$ et $y\in E_{\mu}(u)$. Alors :
$$\begin{array}{rcl}
\ds\left\langle u(x),y\right\rangle = \left\langle x,u(y)\right\rangle & \iff & \ds\left\langle \lambda x,y\right\rangle = \left\langle x,\mu y\right\rangle \\
& \iff & \ds(\lambda-\mu)\left\langle x,y\right\rangle = 0 \\
& \iff & \ds\left\langle x,y\right\rangle = 0
\end{array}$$puisque $\lambda\ne\mu$. Ainsi :
$$E_{\lambda}\perp E_{\mu}$$