Posons $n=\dim(E)$. Soit $f\in\mathcal L(E)$. On sait que :
$$\dim(\mathcal L(E))=n^{2}$$Alors :
$$\left(\text{Id}_{E},f,f^{2},\dots,f^{n^{2}}\right)$$est une famille liée dans $\mathcal L(E)$ de $n^{2}+1$ vecteurs (ici des endomorphismes de $E$). Alors :
$$\exists(a_{0},\dots,a_{n^{2}})\in\K^{n^{2}+1}\setminus\{(0,\dots,0)\}\;/\; a_{0}\text{Id}_{E}+a_{1}f+\dots+a_{n^{2}}f^{n^{2}}=\Theta_{E}$$On en déduit que $P=a_{0}+a_{1}X+\dots+a_{n^{2}}X^{n^{2}}$ est un polynôme non nul et annulateur de $f$.