Dans chaque cas, sauf pour le cosinus, le quotient par $u_n$ correspond à la limite du taux de variation en 0, donc au nombre dérivé en 0.
Pour le cosinus, c'est un peu plus subtil :
$$\begin{array}{rcl}
\cos(x) & = & 1-2\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) \\
\cos(x)-1 & = & -2\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) \\
\cos(x)-1 & \underset{x\to0}{\sim} & \ds -2\left(\frac{x}{2}\right)^2 = -\frac{x^2}{2} \\
\cos(u_n)-1 & \underset{n\to+\infty}{\sim} & \ds -\frac{u_n^2}{2}
\end{array}$$(on utilise le résultat qui précède sur les sinus).