Preuve : équation différentielle du premier ordre

Si $f(t)=K\mathrm{e}^{-U(t)}$ pour tout $t$ dans $I$ alors $f$ est bien solution sur $I$ (calcul immédiat).

Si $f$ est solution sur $I$ de l'équation différentielle alors :
$$\ds\forall t\in I,\; \mathrm{e}^{U(t)}f'(t)+u(t)\mathrm{e}^{U(t)}f(t)=0$$$$\ds\forall t\in\R,\;(\exp(U)f)'(t)=0$$$$\ds\exists K\in\R\;/\;\forall t\in I,\; \mathrm{e}^{U(t)}f(t)=K$$donc on a bien : $$\ds\forall t\in I,\; f(t)=K\mathrm{e}^{-U(t)}$$