Preuve : division euclidienne

C'est la mise en pratique de la technique dite de la division euclidienne selon les puissances décroissantes. Soit donc $B$ un polynôme non nul.

• Pour tout polynôme $A$ tel que $\deg(A)<\deg(B)$, on vérifie aisément que $Q=0$ et $R=A$ conviennent.
• Dans les autres cas ($\deg(A)\geqslant\deg(B)$), on effectue une récurrence sur le degré maximal $n$ du polynôme $A$. On définit ainsi la proposition $\mathcal{H}(n)$ par « pour tout polynôme $A$ de degré au plus égal à $n$, il existe un couple $(Q,R)$ de polynômes tels que $A=BQ+R$ et $\deg(R)<\deg(B)$ ». La proposition est donc vraie à tous les rangs $n<\deg(B)$. Soit $n\geqslant\deg(B)$. Supposons que la proposition $\mathcal{H}(n)$ est vraie. Soit $A$ un polynôme de degré inférieur ou égal à $n+1$. Si $\deg(A)\leqslant n$ alors un tel couple existe bien en vertu de $\mathcal{H}(n)$. Si $\deg(A)=n+1$ alors, en posant :
  $$A=a_{n+1}X^{n+1}+A_{1}\qquad\text{avec}\quad\deg(A_{1})\leqslant n\quad\text{et}\quad a_{n+1}\neq0$$ $$B=b_{k}X^{k}+B_{1}\qquad\text{avec}\quad\deg(B_{1})<\deg(B)=k\quad\text{et}\quad b_{k}\neq0$$ on obtient :
  $$\ds A=\frac{a_{n+1}}{b_{k}}X^{n+1-k}(B-B_{1})+A_{1}=\frac{a_{n+1}}{b_{k}}X^{n+1-k}B+\left(A_{1}-\frac{a_{n+1}}{b_{k}}X^{n+1-k}B_{1}\right)$$ Le second terme est un polynôme de degré inférieur ou égal à $n$ donc on peut lui appliquer l'hypothèse de récurrence. Ainsi :
  $$\ds A=\frac{a_{n+1}}{b_{k}}X^{n+1-k}B+Q_{1}B+R_{1}=\left(\frac{a_{n+1}}{b_{k}}X^{n+1-k}+Q_{1}\right)B+R_{1}$$ En posant :
  $$\ds Q=\frac{a_{n+1}}{b_{k}}X^{n+1-k}+Q_{1} \qquad\text{et}\qquad R=R_{1}$$ on a finalement les relations $A=QB+R$ et $\deg(R)<\deg(B)$ ce qui prouve bien la proposition au rang $n+1$.

Supposons l'existence de deux couples $(Q_1,R_1)$ et $(Q_2,R_2)$ solutions. Alors :
$$A=BQ_1+R_1=BQ_2+R_2\qquad\text{et}\qquad\deg(R_1)<\deg(B)\qquad\text{et}\qquad\deg(R_2)<\deg(B)$$ On en déduit que :
$$B(Q_1-Q_2)=R_2-R_1$$ Si $Q_1\neq Q_2$ alors :
$$\deg(B(Q_1-Q_2))=\deg(B)+\deg(Q_1-Q_2)\geqslant\deg(B)>\deg(R_2-R_1)=\deg(B(Q_1-Q_2))$$ ce qui est absurde donc $Q_1=Q_2$ et ainsi $R_2-R_1=B(Q_1-Q_2)=\Theta$ d'où l'unicité.