Notons $\ell$ la limite de la suite $u$. Pour $\varepsilon=1$, la définition de la limite donne :
$$\exists n_0\in\N\;/\;\forall n\geqslant n_0,\;\ell-1\leqslant u_n \leqslant \ell+1$$
Posons alors :
$$m=\min\left\{u_0,u_1,\dots,u_{n_0-1},\ell-1\right\}\qquad\text{et}\qquad M=\max\left\{u_0,u_1,\dots,u_{n_0-1},\ell+1\right\}$$
On obtient immédiatement que :
$$\forall n\in\N,\;m\leqslant u_n \leqslant M$$
ce qui conclut l'affaire.