Preuve : convergence en loi des suites de variables à valeurs dans Z

Notons $F_{n}$ (resp. $F$) la fonction de répartition de la variable aléatoire $X_{n}$ (resp. $X$). La variable $X$ étant à valeurs dans $\Z$, on en déduit que $F$ est continue sur $\R\setminus X(\Omega)$ au moins.

• $\boxed{\implies}$ : Supposons que $X_{n}\xrightarrow{\mathcal{L}}X$.
  Soit $k\in\Z$. Alors $\ds k\pm\frac{1}{2}\in\R\setminus X(\Omega)$. Pour tout entier $n\geqslant1$, on a :
  $$\ds\mathbb{P}\left(X_{n}=k\right)=F_{n}\left(k+\frac{1}{2}\right)-F_{n}\left(k-\frac{1}{2}\right)\xrightarrow[n\to+\infty]{}F\left(k+\frac{1}{2}\right)-F\left(k-\frac{1}{2}\right)=\mathbb{P}\left(X=k\right)$$
• $\boxed{\impliedby}$ : Supposons que $\ds\lim_{n\to+\infty}{\mathbb{P}\left(X_{n}=k\right)}=\mathbb{P}\left(X=k\right)$ pour tout $k\in\Z$.
  Pour tout $(x,y)\in\R\setminus X(\Omega)$ tel que $|x-y|>1$, on a :
  $$\ds F_{n}(y)-F_{n}(x)=\sum_{\left\lfloor x\right\rfloor +1\leqslant k\leqslant\left\lfloor y\right\rfloor }{\mathbb{P}\left(X_{n}=k\right)}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\sum_{\left\lfloor x\right\rfloor +1\leqslant k\leqslant\left\lfloor y\right\rfloor }{\mathbb{P}\left(X=k\right)}=F(y)-F(x)$$puisque la somme comporte un nombre fini de termes.
  Soit $y\in\R\setminus X(\Omega)$. Soit $\varepsilon>0$. Comme $F(x)\to0$ lorsque $x\to-\infty$ alors :
  $$\ds\exists A<\min\left(0,y-1\right)\;/\;\forall x<A,\;0\leqslant F(x)\leqslant\varepsilon$$On considère donc un réel $x$ tel que $x<A$ et $x\in\R\setminus X(\Omega)$ (c'est possible car sinon $X$ ne serait pas discrète). Comme $F_{n}(x)\to F(x)$ lorsque $n\to+\infty$ alors :
  $$\ds\exists n_{0}\in\N\;/\;\forall n\geqslant n_{0},\;\left|F_{n}(x)-F(x)\right|\leqslant\varepsilon$$Comme $F_{n}(y)-F_{n}(x)\to F(y)-F(x)$ lorsque $n\to+\infty$ alors :
  $$\ds\exists n_{1}\geqslant n_{0}\;/\;\forall n\geqslant n_{1},\;\left|F_{n}(y)-F_{n}(x)-F(y)+F(x)\right|\leqslant\varepsilon$$On en déduit que :
  $$\ds\forall n\geqslant n_{1},\;\left|F_{n}(y)-F(y)\right|\leqslant\left|F_{n}(y)-F_{n}(x)-F(y)+F(x)\right|+\left|F_{n}(x)-F(x)\right|\leqslant2\varepsilon$$c'est-à-dire que :
  $$\ds\lim_{n\to+\infty}{F_{n}(y)}=F(y)$$